Espace métrique

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nelloune
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Espace métrique

par nelloune » 19 Mar 2019, 20:14

Bonsoir, nous avons eu un exercice en classe qui est le suivant :
C={(x1, x2) E R^2 : 2<=x1<=3,0<=x2<=1}
1 / Démontrer que C est une partie fermée de R^2 en utilisant les suites
2/ Démontrer que C est une partie fermée de R^2 sans utiliser les suites.

Malheureusement je ne comprends pas la correction de la première question serait il possible d'avoir de l'aide dessus ?
Merci d'avance.



pascal16
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Re: Espace métrique

par pascal16 » 19 Mar 2019, 20:40

2<=x1<=3

soit U une suite de nombres compris entre 2 et 3 qui converge vers une limite l.

est ce que l peut être non comprise entre 2 et 3 ?

aviateur
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Re: Espace métrique

par aviateur » 19 Mar 2019, 20:50

Bonjour, Cela serait logique de donner la correction et de dire là où tu ne comprends pas.

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mathelot
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Re: Espace métrique

par mathelot » 19 Mar 2019, 21:07

bonsoir,
une suite (u) de C est composée de deux suites réelles
de terme généraux et
avec

et sont les projections ( coordonnées) du produit cartésien
il s'agit de montrer que la limite de u appartient à C
si alors et
et

donc et
donc
C contient ses points adhérents donc C est fermé.

Sans les suites, il s'agit de montrer que le complémentaire de C est la réunion d'ouverts de ou que le produit cartésien de deux fermés de R est un fermé de , la topologie produit est la moins fine qui rende les projections sur les coordonnées continues.

tournesol
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Re: Espace métrique

par tournesol » 19 Mar 2019, 22:31

On a avec les notations de mathelot:

et sont continues ( fonctions polynômiales) donc
Les images réciproques de fermés sont fermés et l'intersection de deux fermés est fermée .
A toi de rédiger .

nelloune
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Re: Espace métrique

par nelloune » 20 Mar 2019, 02:32

Bonsoir, merci beaucoup pour vos réponses.
Effectivement je n'ai pas pu envoyer la correction plus tôt mais je ne trouve pas comment faire afin de pouvoir l'envoyer maintenant :/

nelloune
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Re: Espace métrique

par nelloune » 20 Mar 2019, 02:55

Je peux vous la dicter:
|y-1|>0 prendre la boule:
B((x,y),(y-1)/2) inter C n'est pas égale à l'ensemble vide donc aucune suite dans C converge vers (x,y)

(x,y) n'appartenant pas à C
M=max {|y-1|,|y|,|x-2|,|x-2|}>0
Poser r=M/2
B((x,y),M/2) inter C = ensemble vide.

Je ne comprends pas pourquoi on a pris la boule:
B((x,y),(y-1)/2) surtout le (y-1)/2

Ainsi que le r=M/2.

Merci d'avance.

aviateur
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Re: Espace métrique

par aviateur » 20 Mar 2019, 10:21

Bonjour
En effet perso, j'aurai donné une démonstration de ce type.

donc pour comprendre la démonstration, l'idée est la suivante: On prend un point A=(x,y) qui n'est pas dans C et on montre que A ne peut être la limite d'une suite qui est dans C.

Maintenant la rédaction est un peu nébuleuse alors on ne peut que deviner l'idée de la démo qu'il faut bien sûr corriger.

Alors si on considère M=max(|y-1|,|y|,|x-2|,|x-3|) qui est positif (sinon cela voudrait dire que A est sur la frontière de C donc dans C).

Alors si un point P appartient à la boule B(A,M/2) il est à l'extérieur de C, i;e c.q.f.d

Maintenant pour le début, il semblerait que ce qui est donné est une variante plus convaincante pour le novice, qui considère chaque cas possible pour A.
Par exemple si avec y>1. |y-1|=y-1 et la boule de B(A,(y1)/2) ne rencontre pas C (c'est clair ici que (y-1)/2 < M/2) on prend une boule + petite, c'est plus visible mas il faut considérer tous les cas).

Maintenant perso, il y a un non dit dans l'énoncé. C'est que la distance semble être la distance Euclidienne.
Mais en dimension finie toutes les distances sont équivalentes. Les ouverts et fermés sont les mêmes
Alors du point de vue rédactionnel, il aurait été peut être plus pratique de prendre la distance d((x,y),(x',y'))=Max(|x-x'|,y-y'|) où les boules sont des carrés et c'est très adapté à l'exo.

nelloune
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Re: Espace métrique

par nelloune » 20 Mar 2019, 11:48

D'accord merci beaucoup :)

aviateur
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Re: Espace métrique

par aviateur » 20 Mar 2019, 15:04

Rebonjour
Avec la norme que j'ai donnée ( norme notée ), C est la boule fermée de centre A=(5/2,1/2) et de rayon 1/2!!!!
i.e ssi

nelloune
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Re: Espace métrique

par nelloune » 20 Mar 2019, 15:11

D'accord merci de la précision :)

 

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