Bonjour
En effet perso, j'aurai donné une démonstration de ce type.
donc pour comprendre la démonstration, l'idée est la suivante: On prend un point A=(x,y) qui n'est pas dans C et on montre que A ne peut être la limite d'une suite
qui est dans C.
Maintenant la rédaction est un peu nébuleuse alors on ne peut que deviner l'idée de la démo qu'il faut bien sûr corriger.
Alors si on considère M=max(|y-1|,|y|,|x-2|,|x-3|) qui est positif (sinon cela voudrait dire que A est sur la frontière de C donc dans C).
Alors si un point P appartient à la boule B(A,M/2) il est à l'extérieur de C, i;e
c.q.f.d
Maintenant pour le début, il semblerait que ce qui est donné est une variante plus convaincante pour le novice, qui considère chaque cas possible pour A.
Par exemple si
avec y>1. |y-1|=y-1 et la boule de B(A,(y1)/2) ne rencontre pas C (c'est clair ici que (y-1)/2 < M/2) on prend une boule + petite, c'est plus visible mas il faut considérer tous les cas).
Maintenant perso, il y a un non dit dans l'énoncé. C'est que la distance semble être la distance Euclidienne.
Mais en dimension finie toutes les distances sont équivalentes. Les ouverts et fermés sont les mêmes
Alors du point de vue rédactionnel, il aurait été peut être plus pratique de prendre la distance d((x,y),(x',y'))=Max(|x-x'|,y-y'|) où les boules sont des carrés et c'est très adapté à l'exo.