Espace métrique complet

[BIG ZIRMA]

Bonjour, je travail sur un cours de fractals disponible à cette adresse:

http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~b ... actals.pdf

Je bloque sur un élément de la page 12:

"1.2.2 Espace métrique des ensembles compacts

On se place dans ce qui suit dans X = R² bien que des formulations plus générale existent. On
rend R² métrique en le dotant d’une distance (qui peut être la distance euclidienne ou tout autre
distance sur R²).
Les compacts de R² sont les ensembles fermés bornés. Considérons deux ensembles compacts
A,B. On définit la distance de Hausdorff entre ces deux ensembles comme suit (voir la figure (1.4)).
Soit d(x,B) la distance du point x ∈ A à l’ensemble B définie par d(x,B) = min(d(x, y), y ∈ B).
La distance de l’ensemble A à l’ensemble B est alors d(A,B) = max(d(x,B), x ∈ A). On ne prend
pas le min dans cette définition car alors la distance entre deux ensembles s’intersectant serait
nulle. Le caractère défini nécessaire à la définition d’une distance ne serait donc pas obtenu. Mais
il reste toutefois un problème avec cette définition : le mesure est non symétrique. On définit alors
la distance de Hausdorff entre A et B par
dH(A,B) = max(d(A,B), d(B,A))
Cette définition satisfait les propriétés d’une distance et dH constitue alors une métrique sur
l’ensemble des ensembles compacts de R². On peut alors montrer le résultat suivant :

---je n'ai pas reussi à deposer la figure---

Figure 1.4: Illustration de la définition de la distance de Hausdorff.

L’ensemble des compacts de R², noté H(R²), muni de la distance de Hausdorff est un espace métrique complet.

Ainsi, une suite de Cauchy de sous-ensembles compacts de R² converge vers un sous-ensemble
compact de R². Nous verrons que beaucoup de fractales sont des limites de ce type! "

Voila, quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi dit on que l’ensemble des compacts de R², noté H(R²), muni de la distance de Hausdorff est un espace métrique complet ?

[Ben314]

Je comprend pas trop le sens de la question....
On dit que "L’ensemble des compacts de R², noté H(R²), muni de la distance de Hausdorff est un espace métrique complet."

Parce que :
1) Le truc d(A,B) défini dans le laïus au dessus est effectivement une distance, c'est à dire vérifie les axiomes demandés pour être une distance.
2) Si on prend une suite de compacts de R^2 qui est de Cauchy pour cette distance là, alors elle converge effectivement vers un compact de R^2 donc l'espace métrique en question est dit "complet".