Espace de hilbert

[tonythx]

Soit H un espace de Hilbert réel, de dimension infini, séparable.
Soit B={ hn : n>=1} une base hilbertienne de H.
Est-ce que

limite lorsque N->+oo (Somme n=1 à N de hn/racine de n) existe dans H ?

(Désolé pour l'écriture mais il faudrai qu'on m'explique comment inserer une image!!!)
Merci de bien vouloir m'accorder de votre temps.
Tonythx

[serge75]

J'ai tendance à penser que c'est faux. Vais essayer de réfléchir à un contre-exemple

[El_Gato]

Je pense également que c'est faux. Considérons l'espace de Hilbert muni de sa base hilbertienne standard (avec le 1 à la i-ième place, et tous les autres à 0). La somme

est égale au vecteur
. S'il existe un vecteur tel que alors on doit avoir pour tout i. Mais ce vecteur n'est pas dans car la série harmonique diverge.