Espace euclidien et géométrie

[dfshr8]

J'ai une question qui concerne le chapitre sur les espaces euclidiens:

Lorsque l'on définit le produit scalaire < , >, on dit que c'est une forme bilinéaire: donc si on a: x=x1e1+...+xnen et y=y1e1+...+ynen ou (e1,...,en) est la base de E (un K-ev de dim n).
Ainsi < x ,y > = x1y1< e1,e1> + x1y2< e1,e2>+...+xnyn< en,en>. (auquel il faut lui ajouter les propriétés de symétrie (=) et s'assurer que l' application est bien définie positif.) Ainsi je remarque que dès lors que l'on connait tous les , notre produit scalaire est définit (d'où la notation matricielle)).

Bon, mettons que nous soyons dans le plan (je souhaite faire un lien avec de la géométrie) et soient u,v deux vecteurs du plan (non perpendiculaires au sens de la géométrie euclidienne, disons qu'ils font un angle téta de 30° ( et ne sont pas nécessairement de même longueur)) :


Je peux construire la forme bilinéaire symétrique (et définie positive) suivante (noté Q2):
- je pose Q2(u , v )=0; Q2(v , v) = 1, Q2(u , u)=1. Ainsi bien que géométriquement mes vecteurs v1 et v2 ne soient pas perpendiculaire (au sens géométrique, puisque l'angle entre ces deux vecteurs n'est pas de 90° mais de 30°) ils forment une base orthonormée au sens algébrique (par définition).

Dès lors de nombreuses bizarreries apparaissent: par exemple si j' effectue le produit scalaire Q2(-u,v) =0 et pourtant ces deux vecteurs font un angle de 150°. Du coup je ne comprend plus le lien avec la formule:
Cos(téta) = /(||x||.||y||) qui est la conséquence de l'inégalité de Cauchy shwartz)?


Pourriez vous m' éclairer sur ces points (lien entre géométrie et algèbre) ?

[Judoboy]

Ta formule < x ,y > = x1y1< e1,e1> + x1y2< e1,e2>+...+xnyn< en,en> n'est valable que dans une base orthogonale, sinon tu auras plein de termes croisés XiYj qui n'ont aucune raison d'être nuls.

[Doraki]

Ta formule n'a rien à voir avec l'inégalité de cauhcy-schwarz

Avec le produit scalaire usuel, si tu prends un vecteur u=(cos;),sin;)) et un vecteur v=(cos;), sin;)) ;
donc 2 vecteurs unitaires qui forment un angle ;)-;), leur produit scalaire vaut
cos;)cos;)+sin;)sin;) = cos(;)-;)) (formule de trigo)
et donc le produit scalaire mesure bien l'angle entre 2 vecteurs.
pour obtenir la formule que tu cites il faut juste utiliser la linéarité du produit scalaire.


Avec le produt scalaire que tu as inventé, ça n'est plus valable, et d'ailleurs ça ne sert plus à rien de parler d'angles puisque ton produit scalaire n'est pas invariant par rotation.

[Maxmau]

Bj

Question intéressante. Quelques remarques complémentaires

Sur un espace vectoriel réel de dimension finie, on peut définir plusieurs produits scalaires. A chacun de ces produits scalaires est associé un groupe d’isométries. Mais les isométries associées à un produit scalaire ne sont pas les mêmes que celles associées à un autre produit scalaire. Dans le plan, les rotations (et donc les angles) associées à un produit scalaire ne sont pas les mêmes que les rotations associées à un autre produit scalaire.
Cependant une propriété montrée dans un espace euclidien est vraie dans tout espace euclidien ( «Pythagore*» est vrai dans tout espace euclidien)
Quand on travaille dans un espace euclidien, on représentera 2 vecteurs orthogonaux par la figure habituelle (même si les vecteurs en question n’ont rien à voir avec les vecteurs du plan physique usuel). Il faut voir cette figure comme une aide à la démonstration. (naturellement il faut faire attention lorsque 2 produits scalaires interviennent)
Des propriétés affines peuvent quelquefois être prouvées par des considérations métriques.
Prenons une ellipse d’un plan affine réel. Si on munit la direction de ce plan d’un produit scalaire euclidien, on peut considérer un cercle et la transformation affine transformant l’ellipse en le cercle. Toute propriété affine du cercle sera donc aussi valable pour l’ellipse. En voyant la chose autrement, étant donnée une ellipse d’un plan affine réel, on peut toujours munir ce plan d’un produit scalaire pour lequel l’ellipse est un cercle. Une ellipse d’un plan affine réel n’est jamais qu’un cercle modulo le choix d’un produit scalaire adéquat et toute propriété affine du cercle est valable pour l’ellipse.
Autre exemple. Si on veut montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes, on peut munir le plan d’un produit scalaire qui fait de ce triangle un triangle équilatéral ( le résultat est alors évident puisque les médiatrices d’un triangle sont concourantes de manière évidente). On peut aussi (ça revient au même) transformer (transformation affine) notre triangle en un triangle équilatéral.