Ss-espace de dimension finie

[melreg]

Bonjour,

Il me semble que le résultat suivant est vrai :

Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé.

Est-ce que quelqu'un connaît une preuve?

Merci d'avance!

[Monsieur23]

Aloha ;

Au hasard :

Tu décomposes E en la somme directe F+G

Tu prends une application linéaire u telle que Ker(u) = F ( eg u(x) = 0 si x est dans F, u(x) = e1 si x est dans G )

Alors F=u^-1 ({0}) , avec {0} fermé et u continue.

Non ?

[melreg]

Euh oui pourquoi pas... mais le fait qu'il soit de dimension finie apparaît où?

[Monsieur23]

J'avais mal lu, je pensais que le gros espace était de dimension finie.

Oublie ce que j'ai dit alors !

Sinon oui, le résultat est vrai ! [Edit : Ptét pas en fait... j'retourne réviser...] Je cherche une preuve.

[Doraki]

Au hasard, R est un Q-ev normé, et Q en est un sous-ev de dimension 1, mais qui n'est pas fermé dans R. =/ .

[melreg]

Donc ce résultat serait faux!?
En tout cas, je n'avais jamais vu ton contre-exemple!!!

[nuage]

Salut,
je ne suis pas certain qu'une application linéaire soit toujours continue.
Mais il s'agit de vieux souvenirs et je me trompe peut-être.

[Doraki]

Ben ça ne m'étonnerait pas qu'on puisse le rendre vrai en ajoutant une hypothèse du style que le corps de base doit être complet.

Il s'ensuivrait que K^n est complet aussi (quelle que soit la norme sur le gros ev, parceque sur la restriction à K^n elle est équivalente à la norme usuelle) et que de toutes façon il doit bien y avoir un théorème qui dit qu'une partie complète d'un espace métrique est toujours fermée.

[melreg]

Ah oui... en fait, dans mon cas, c'est un -espace vectoriel...

Mais une preuve vous paraît-elle abordable?

[Joker62]

La preuve est donné juste au dessus :^)
S'il est fini il est isomorphe à R^n qui est complet et c'est fini.