L’espace des suites

[seiff]

Bonsoir, j’ai posté cet exercice sur un autre site, mais je n’arrive pas à comprendre leurs indications.
Si vous pouvez m’expliquer, je vous remercie d’avance.

Soit l’espace des suites de nombres réels dont la série converge absolument et on considère la norme :



Pour chaque , on considère la suite telle que pour chaque on a :



1) Montrer que la suite ne converge pas vers la suite constante nulle.

2) Montrer que la suite ne possède aucune suite extraite convergente.

3) Déduire que la boule fermée de centre la suite nulle et de rayon 1 de l’espace n’est pas compacte.

[GaBuZoMeu]

Il me paraîtrait plus logique (et plus fair-play pour les intervenants qui se sont donné la peine de te répondre) de continuer la discussion sur l'autre forum.
Donne en tout cas le lien sur cette discussion. Sinon, on risque fort de répéter les mêmes indications !

[seiff]

Bonsoir, voici le lien :

https://www.ilemaths.net/sujet-l-espace ... 42545.html

[tournesol]

1)Supposons que (Xk) converge vers la suite nulle .
La norme de Xk est 1 pour tout k , donc la suite des normes des Xk est une suite qui converge vers 1 .
De plus la norme de la suite nulle est 0 .
Or la norme est continue( comme toutes les normes) donc ...
2) si converge alors elle est de Cauchy et donc il existe p tel que mais cette norme vaut ... qqs p.
3) Immédiat

[seiff]

Bonjour,

C’est vraiment bien clair, j’ai bien compris.
La norme vaut 2, quel que soit p, donc absurde.
Merci bien tournesol.