Espace compact

[Rantanplan]

Bonjour à tous !
Je n'arrive pas à résoudre un exercice à cause d'un problème que je me pose :

Si E={x=(xn) | (xn) bornée et n appartient à N}
muni de la distance d(x,y)=Somme ((1/2^n)|xn-yn|) (n appartient à N)

Comment montrer que A={x appartient à E | Quelque soit n>3, xn=0} est compact ?

En fait mon problème est lié aux n de N ...

Merci d'avance.

[abcd22]

Bonjour,
Ton exercice a l'air d'être mal posé, dit comme ça on comprend que E est l'ensemble des suites bornées, mais si c'était ça A ne serait pas compact (par exemple la suite (v_k) de suites telles que v_k(0) = k et v_k(n) = 0 pour n > 0 n'admet pas de sous-suite convergente).
À mon avis E doit plutôt être un truc du genre : E est un ensemble de suites x = (x_n) tel que pour tout k ;) ;) l'ensemble { x_k | x ;) E } est borné (et les bornes doivent être assez petites pour que la distance soit bien définie).

[leon1789]

Effectivement, l'énoncé est bizarre.

Quelque soit

s'écrit >
ou > ou > ou >

J'ai l'impression que cette expression utilisée 400 fois par jour est systématique mal orthographiée... même par certains enseignants !

[mathelot]

bjr,


soit les applications



est l'application"ième coordonnée"
les sont continues.
est un fermé de E.

A est une intersection de fermés donc un ensemble fermé.

A est un sous-ensemble fermé du compact E, donc compact.

[Rantanplan]

Bonjour !

Je suis désolé pour mon manque de clarté abcd22, la question était A est-il compact de E ?

Par contre je n'ai pas bien suivit ce qu'était dans le raisonnement de mathelot.

Dans le raisonnement d'abcd, je ne vois pas pourquoi le suite que tu dit ne pourrait pas avoir de sous-suite convergente ...
Par exemple, (x_2k) ne marcherait pas ?

Merci pour vos réponses !

[abcd22]

Dans le raisonnement d'abcd, je ne vois pas pourquoi le suite que tu dit ne pourrait pas avoir de sous-suite convergente ...
Par exemple, (x_2k) ne marcherait pas ?

E est un ensemble de suites, chaque suite v_k admet des sous-suites convergentes, mais la suite de suites (v_k) n'en a pas.

[Rantanplan]

Posté par Rantanplan
Ah ? Je suis désolé d'insister, mais je ne comprend pas trop pourquoi ...
Parce qu'elle est presque constante ?

[leon1789]

Ah ? Je suis désolé d'insister, mais je ne comprend pas trop pourquoi ...
Parce qu'elle est presque constante ?

tu ne te places pas dans le bon espace ! visiblement, tu penses dans l'espace R ... alors que l'espace de l'énoncé est l'ensemble des suites bornées (si je ne me trompe pas).

Donc il faut considérer une suite de suites , et non une suite de réels.

[Rantanplan]

Ah mais oui !
Tu as raison, j'me plaçais dans le mauvais espace !
Merci !

[mathelot]

Ah mais oui !
Tu as raison, j'me plaçais dans le mauvais espace !
Merci !

et est l'ensemble des suites telles que

[Rantanplan]

Ah d'accord !
Et comme est continue donc fermé.

J'avais pas saisit.

[Rantanplan]

Bonjour !

Je voudrait juste savoir :
Si je prend A'={x dans E | Quel que soit n dans N, v_n=1 si n>5},

La suite de suite (v_k) telle que v_k(0)=k et v_k(n)=1 pour n>0 n'admet pas de sous-suite convergente ?

[digardel]

Soient vk et vk+m deux suites de ton espace
d(vk,vk+m)>ou= m ,celà suffit pour conclure.

[Rantanplan]

D'accord ! merci !

Et ... euh ... l'espace
B={x dans E | Quel que soit n dans N, 1 <ou= |x_n| <ou= 2} est plutôt compact lui ?

Je ne vois pas trop comment me débrouiller avec ça ...

PS: E est toujours l'ensemble des suites réelles bornées.