Espace compact

[barbu23]

Soit un espace toplogique séparé, un espace localement compact et une application continue.
On dit que est propre si pour tout compact de est un compact de
- Montrerq ue si est compact alors est propre
Donner un exemple d'applications : continue, mais non propre.
Soit un sous espace fermé de , montrer que l'application definie par : est propre.
On suppose que ets propre.
Soit un fermé de , on veut montrer que est un fermé de
Soit et un voisiange compact de dans
Montrer que
Montrer que
En dedurie que est fermé.
En deduire que est fermé.

Merci d'avance.

[Nightmare]

Salut,

qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire?

[barbu23]

Alors, pour la première question, il s'agit de montrer que est propre.
Soit un compact de localement compact, donc séparé, par conséquent est fermé et donc est fermé car est continue. Par hypothèse est compact, donc : est compact
Je n'arrive pas à resoudre la deuxième question. :mur:

[barbu23]

Pour la seconde question :
On prend : qui est continue et qui est un fermé bornée de , donc compact, et n'est pas bornée ( divergente ), donc n'est pas compact.
Par conséquent : est non propre.
Pour la question suivante, qu'estce qu'on fait ? :happy3:
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Salut,

...Montrer que ...

ça ne serait pas plutôt ?

[barbu23]

Salut,ça ne serait pas plutôt ?

Oui, voilà, j'ai trop vite écrit Ben :happy3:
MErci pour la correction :happy3:

[barbu23]

Un peu d'aide svp :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[windows7]

ah j'ai eu ca au partiel hier, ok s'en tape dma vie :)

[Ben314]

Si tu en est là :

Soit un sous espace fermé de , montrer que l'application definie par : est propre.

ben il suffit décrire la définition de "propre" !!!

Si tu en est là :

Montrer que

je vois qu'une seule méthode : revenir à la définition de l'adhérence d'une partie.

[barbu23]

Si tu en est là : ben il suffit décrire la définition de "propre" !!!

Si tu en est là : je vois qu'une seule méthode : revenir à la définition de l'adhérence d'une partie.

Soit un compact de donc, fermé de , car est localement compact.
Alors est fermé de contenue dans qui est compact, donc est compact
CQFD

[Ben314]

Vu que K est contenu dans F, tu peut même directement écrire que !!

[barbu23]

Soit
Alors :
Par hypothèse, est un voisinage compact de dans .
alors, un ouvert de tel que
car et donc ouvert de tel que
Par conséquent : avec un ouvert de .
Par conséquent .
et il est clair que car :
Merci pour votre aide. :happy3:

[Ben314]

...il faut trouver tel que ...

non, pour montrer que , il ne faut pas
"trouver un tel que..."
mais montrer que,
"pour tout on a "

[barbu23]

Soit
Alors :
Par hypothèse, est un voisinage compact de dans .
alors, un ouvert de tel que
car et donc ouvert de tel que
Par conséquent : avec un ouvert de .
Par conséquent .
et il est clair que car :
Merci pour votre aide. :happy3:

c'est correct la suite Ben241 ? :help:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui, c'est parfaitement correct, mais il n'est pas utile de prendre à chaque fois des ouverts contenus dans les voisinages : tu peut directement prendre l'intersection de tes deux voisinages K et A de y, ce sera aussi un voisinage de y donc il rencontrera f(L) vu que y est dans l'adhérente de f(L).

[barbu23]

Merci Ben314 : happy3:
Maintenant comment établir la formule suivante :

J'ai pensé faire comme ça ( mais mène à rien ) :

As tu une piste Ben314 ? :happy3:
MErci d'avance :happy3:

[Ben314]

Ben "ma piste" (si on peut parler de piste...) , c'est, pour un donné de ,
- Quoi ça veut dire que ?
- Quoi ça veut dire que ?

[barbu23]

Ben "ma piste" (si on peut parler de piste...) , c'est, pour un donné de ,
- Quoi ça veut dire que ?
- Quoi ça veut dire que ?

si : alors : tel que
donc : et
c'est àdire : et
Par conséquent :
c'est à dire :

Montrons maintenant que :
Si alors et
c'est à dire : tel que et donc et donc
Par conséquent :
CQFD. :happy3:
C'est correct Ben314 ??? :happy3:
Maintenant, comment deduire que est fermé ?
Celà revient à montrer que est fermé. pourquoi ce dernier est fermé ?
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui, c'est correct.
Pour la fin, cherche un peu : c'est trés simple (et n'oublie pas que f est supposée propre)

[barbu23]

Oui, c'est correct.
Pour la fin, cherche un peu : c'est trés simple (et n'oublie pas que f est supposée propre)

Alors st compact et est propre donc est compact dans separé, donc est fermé et est fermé donc est fermé dans le compact , donc est compact et par hypothèse est continue, donc est compact dans séparé, car localement compact, donc est fermé et par suite est fermé.
C'est bien comme ça Ben314 ??? :happy3:
Maintenant, pour la dernière question, pourquoi est fermé ??? :mur:
là, jene vois pas du tout comment m'y prendre pour cette question.
Merci d'avance. :happy3: