Equivalents

[MC91]

Bonjour,

J'aurai voulu savoir si on peut faire des equivalents d'equivalents.
Je m'explique, voici un corrigé d'un de mes profs sur un exercice d'equivalents:

On prend ln(1+arctan (1/x)). On cherche un equivalent en +infini.

ln(1+x) est equivalent à x en 0, arctan (1/x) tend vers 0 quand x tend vers +infini.
Donc ln(1+arctan (1/x)) est equivalent à arctan (1/x) en +infini.

Jusque là, je suis d'accord.

Ensuite, arctan (1/x) est equivalent à 1/x en +infini. Je suis d'accord aussi.

Donc ln(1+arctan (1/x)) est equivalent à 1/x en +infini. Là je ne suis plus d'accord. Pour moi, c'est de la composition d'equivalents et j'ai toujours appris que c'était formellement interdit.

Si quelqu'un pouvait me dire si c'est juste ou pas, ce serait super ...

Bonne soirée à tous.
A bientot.

[SaintAmand]

Je m'explique, voici un corrigé d'un de mes profs sur un exercice d'equivalents:
[...]
Jusque là, je suis d'accord.
[...]
Je suis d'accord aussi.
[...]
Là je ne suis plus d'accord.

Voilà des formulations bien prétentieuses. L'équivalence en un point entre fonctions est une relation d'équivalence. Montre le.

[MC91]

Désolé si mes formulations ont l'air prétentieuses, ce n'est pas mon intention. J'essaie juste d'expliquer au mieux ce que j'ai compris et ce que je n'ai pas compris.

[Skullkid]

Bonjour, ce qu'on appelle couramment "composer les équivalents" c'est utiliser la proposition "si f est équivalente à g en a alors h°f est équivalente à h°g en a". Cette proposition est en effet fausse, mais heureusement elle n'est pas utilisée dans la correction que tu donnes.

En revanche, comme l'a dit SaintAmand, la correction utilise le fait que l'équivalence en un point est une relation d'équivalence. Elle utilise également la "composition à droite des équivalents", à savoir "si f est équivalente à g en b et si la limite de h en a est b, alors f°h est équivalente à g°h en a". Cette proposition-là est vraie (à redémontrer si tu as un doute).

[MC91]

Bonjour, ce qu'on appelle couramment "composer les équivalents" c'est utiliser la proposition "si f est équivalente à g en a alors h°f est équivalente à h°g en a". Cette proposition est en effet fausse, mais heureusement elle n'est pas utilisée dans la correction que tu donnes.

En revanche, comme l'a dit SaintAmand, la correction utilise le fait que l'équivalence en un point est une relation d'équivalence. Elle utilise également la "composition à droite des équivalents", à savoir "si f est équivalente à g en b et si la limite de h en a est b, alors f°h est équivalente à g°h en a". Cette proposition-là est vraie (à redémontrer si tu as un doute).

Je n'ai jamais vu les relations d'equivalence... Pourrais tu m'expliquer ce que veut dire l'equivalence en un point est une relation d'equivalence?

[Skullkid]

Si tu n'as pas vu les relations d'équivalence, je vais reformuler sans utiliser le terme. La propriété utilisée qui semble te poser problème est : "si f est équivalente à g en a et si g est équivalente à h en a alors f est équivalente à h en a". Cette propriété est vraie et le fait de l'appliquer ne s'appelle pas "composer les équivalents".

[MC91]

Si tu n'as pas vu les relations d'équivalence, je vais reformuler sans utiliser le terme. La propriété utilisée qui semble te poser problème est : "si f est équivalente à g en a et si g est équivalente à h en a alors f est équivalente à h en a". Cette propriété est vraie et le fait de l'appliquer ne s'appelle pas "composer les équivalents".

Ah d'accord merci beaucoup !!! C'est exactement ça qui me manquait pour comprendre!
Bonne soirée à toi !