[L1] Equivalents

[benekire2]

Salut a tous,

J ai quelques problemes avec des equivalents et je fais appel a vous :

1. On considere l equation e^x=nx avec n entier , cette equation possede 2 solution et on note y_n la plus grande j ai montrer que y_n est equivalent a ln(n) en l infini, òon probleme cest trouver un equivalent en l infini de y_n-ln(n) et j ai pas mieux que ln(y_n)

Comment peut on faire mieux ?


2. Soit l equation x^n=a(1-x) avec a reel et n entier
on note x_n la solution de cette equation pour tout n et v_n=1-x_n
a. Montrer que un equivalent de ln(v_n) en l infini est -n v_n
a. Montrer que un equivalent de ln(v_n) en l infini est -ln(n)

Je n y arrive pas , merci de votre aide ,

(Je suis a l etranger, penible le clavier :marteau: ... )

[Nightmare]

Salut,

y(n) est équivalent à ln(n) donc, avec une petite justification, il ne devrait pas être difficile de montrer que ln(y(n)) est équivalent à ln(ln(n))

[benekire2]

Salut !

C'est bon, c'est justifié,

Par contre pour la deuxième question je ne vois toujours pas ...
Je réécris par soucis de clarté avec des balises latex :

Soit n un entier naturel une équation dont l'unique solution est notée . On pose .

a. Montrer que
b. Montrer que
c. En déduire un équivalent de ( C'est fait. )


Voilà, si quelqu'un peut m'aider pour la a et b, merci :we:

PS: Pour la a. tout est bon en fait, j'ai mais bien sûr puis en divisant pas ln(v_n) on a notre équivalent facilement puisque ln(a)=o(ln(v_n))
Si quelque sait pour le b ... merci :zen:

[Nightmare]

Hello,

pourquoi nln(1-vn) est équivalent à -nvn ?

[benekire2]

Salut,

en 0 un équivalent de ln(1+x) est x or là v_n tend vers 0 d'où ln(1-v_n) équivalent à -v_n i.e nln(1-v_n) équivalent à -nv_n

Cela dit si tu me demande c'est qu'il y a une erreur, or je vois pas trop ... :doh:

Merci de ton aide nightmare :we:

[Nightmare]

Salut,

en 0 un équivalent de ln(1+x) est x or là v_n tend vers 0 d'où ln(1-v_n) équivalent à -v_n i.e nln(1-v_n) équivalent à -nv_n

Cela dit si tu me demande c'est qu'il y a une erreur, or je vois pas trop ... :doh:

Merci de ton aide nightmare :we:

Ce qui me gène, c'est que tu n'as prouvé nulle part que (vn) tendait vers 0 ! C'est quand même à écrire :lol3:

[benekire2]

ah, oui, je l'ai fais c'était une question préliminaire, mais qui ne m'as pas posé de problèmes;

c'est montrer que qui me tue ... :briques:

[Pythales]

Peut être que :
soit


et le membre de gauche tend vers 0
(à réécrire proprement)

[benekire2]

Salut !

Oui a réécrire proprement bien sûr.

Cependant, comment tu justifie la composition par le logarithme :doh: ? Merci de ton aide !

[Pythales]

Si alors
(ce n'est pas le cas de l'exponentielle)
Maintenant, si je pose alors et

[Nightmare]

Pour la composition avec le log :

, je te laisse le soin de conclure.

[benekire2]

Merci à vous deux, maintenant tout est ok, et je me souviendrais que le logarithme conserve l'équivalence :we:

[Nightmare]

Attention cependant à imposer une certaine condition sur g, à savoir que 1/ln(g) soit bornée.

[benekire2]

Donc, c'est pas vraiment fini, faudrait justifier que 1/ ln(-ln(v_n)) est bornée ou 1/ln(nv_n) est bornée ...

[Nightmare]

Avant toute chose, vois-tu pourquoi cette condition s'impose?

[benekire2]

Bah en fait en regardant , on veut que cette limite vale 0:



Et ça c'est du 0 X lim 1/ln(g) or si 1/ln(g) est bornée c'est gagné et si elle ne l'est pas alors on a une forme indéterminée et on est pas sûr que la limite fasse 0.

PS: Pour achever l'exercice, on montre que 1/ln(-ln(v_n)) --> 0 ce qui suffit pour dire que 1/ln(-ln(v_n)) est borné

[benekire2]

Salut,

Je reviens a la charge avec un nouvel équivalent a trouver, il s'agit de donner un équivalent en l'infini de :



Alors j'ai cherché et je vois pas du tout.

Par ailleurs j'avais vu un exercice ou on devait trouver un équivalent d'une somme et la correction utilisait des sommes de Riemann, j'espère que ici ce n'est pas le cas, parce que je ne connais pas les sommes de Riemann.

Si quelqu'un pouvait me donner des pistes,

Merci :happy3:

[mathelot]

re,

Une somme de Riemann de fonction positive est une somme d'aires de rectangles,
quasi aléatoire ou qu'on aimerait rendre aléatoire :we:
somme qui approxime l'aire située sous une courbe

Deux classes de fonctions réelles sont Riemann-intégrables: continues ou monotones

ici

La théorie a été rendue obsolète par:
1) Lebesgue
2) dernièrement par Kurzweil-Henstock

[Nightmare]

Salut,

surement une comparaison série-intégrale permettra de conclure.

[mathelot]

Dans la somme de Riemann, un terme de la somme est vue comme la hauteur
du rectangle, la base étant de longueur 1, [n-1;n] à gauche ou [n;n+1] à droite

et justement , pour les fonctions monotones, ça donne des encadrements
rt içi oncompare avec une intégrale (primitiver par parties)