Equivalents de sommes

[Serru]

Bonjour,

Il semblerait qu'une méthode m'échappe : Comment déterminer un équivalent d'une somme ? Petit exemple concret qui est, sans vous le cacher, une des fonctions que je dois traiter dans mon DM pour la rentrée :we: :

Déterminer un équivalent en 1 de : f(x) = sin(x)-sin(1/x).

Dans mon cours, il est clairement écrit pour les équivalents de sommes de rechercher le terme prépondérant et de factoriser si il existe, et, dans le cas contraire, de recourir à un DL.

Le fait est que "recourir à un DL" est assez flou je trouve... Ici, il ne semble pas y avoir de terme prépondérant, on va donc utiliser un DL après s'êtrez ramené au voisinage de 0 par le changement de variable x=1+h.

Mais quelle est la marche à suivre ensuite ? Etant donné qu'on m'a dit 10000 fois de me méfier des opéartions algébriques effectuées lorsqu'on calcule sur les équivalents, je ne sais plus trop ce que j'ai le droit de faire ou pas...


Merci :id:

[XENSECP]

hum oui le fait de faire x = 1 + h pour se ramener à 0 est une bonne idée ^^
Ainsi dans le 2ème sinus tu as :


Ensuite tu as sin(a)+sin(b) = ... (trigo) et normalement (je ne l'ai pas fait en entier) mais je dirais que le dl que je viens de faire (à l'ordre 1) devrait suffire vu que tu cherches juste un équivalent

[Serru]

Et là je ne saisis pas... Après avoir appliqué notre bonne vieille formule de trigo, on se retouve à nouveau face à une somme, alors certes au voisinage de 0, sin(h) ~ h, mais je peux pas additionner les deux, j'ai pas le droit ^^"

Je crois que je suis un peu perdu ^^

[XENSECP]

teuteuteu !
tu fais des DL ^^ Tu peux additionner les DL ;)
Simplement l'équivalent c'est le 1er terme non nul du DL quoi :D

[Serru]

Je peux donc additionner ces fichus DL et, comme les restes vont miraculeusement disparaître quand je vais calculer la limite, je vais trouver l'équivalent recherché ?

[XENSECP]

Ya pas de "limites" dans les DL ^^ Juste des o(h) quoi :D

Ecoute je n'ai pas fait le calcul en entier et je t'avoue que ça me tente pas vraiment (faut que je trouve une feuille et un stylo lol), mais dans l'optique de la résolution de la question tu dois juste sommer les DL et bon s'il te reste que des o(h) alors il faut pousser + loin les DL (le premier DL que j'ai fait et les autres), sinon ba le terme en h que tu auras sera l'équivalent (il faudra remettre en x... h = x-1).

voilà pour la méthode ;)

[Serru]

Ce sont les o(h) que j'appelle restes ^^

Donc faire des DL et les sommer, prendre un ordre plus élevé s'il ne reste que des restes (^^") et prendre le premier terme en h comme équivalent.

Dernière question : Suis-je obligé de prendre un DL au même ordre pour les deux termes (C'est la dernière promis ^^) ?

[XENSECP]

Les questions me dérangent pas ;) C'est faire le calcul (la flemme quoi) ^^

Tu peux sommer des DL et l'équivalent sera le premier terme en h^k non nul si tu dis que sigma ak.h^k est le DL ;)

Pour les ordres... hum oui il faut prendre le même ordre ;)

[Serru]

Merci bien ^^

[Serru]

Faut croire que je suis pas doué, j'ai un peu de mal... Une fois que j'ai réécrit sin(1/1+h), j'obtiens :

sin(1+h) + sin(1-h+o(h))

J'applique ma trigo :

sin(1)cos(h) + cos(1)sin(h) + sin(1)cos(h+o(h)) - cos(1)sin(h+o(h))

On factorise :

sin(1)[cos(h) + cos(h+o(h))] + cos(1)[sin(h) - sin(h+o(h))]


Est-ce que je suis sur la bonne voie ? Parce que ça me paraît long et improductif :s

[XENSECP]

Ah non ^^
sin(a)+sin(b) il y a une formule toute prête ^^

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

[Serru]

Oulà oui j'avais mal lu ^^"

J'obtiens 2sin(1+o(h))cos(h-o(h)), ensuite je fais sin(a+b) et cos(a+b) et un DL ? Je vais me perdre là, ça devient long...

[nodgim]

Oulà oui j'avais mal lu ^^"

J'obtiens 2sin(1+o(h))cos(h-o(h)), ensuite je fais sin(a+b) et cos(a+b) et un DL ? Je vais me perdre là, ça devient long...

Une autre piste: se rappeler que (1+h)^n=1+nh quand h petit devant 1. ça peut débloquer, je n'ai pas regardé plus loin, mais appliqué à 1/x, pourquoi pas ?

[fatal_error]

Bonjour,

pour revenir a l'équivalent, ya quand même peut etre plus simple :
faire un DL des deux avec notre bon vieux TaylorYoung


Ici, on l'applique a sin(x) en 1:


Pareil pour sin(1/x):

donc
Et notre somme :

[Serru]

Donc au voisinage de 1, sin(x) - sin(1/x) ~ 2cos(1)(x-1) ? À moins que je n'aie strictement rien compris ^^"

[xyz1975]

Oui c'est bien ça.

[yos]

On l'a aussi avec
Le premier facteur équivaut à , le second à .

[Serru]

Là par contre, je sèche complètement... Comment déterminer un équivalent de sommes en l'infini, toujours sans terme prépondérant ? TY est exclus cette fois... Et je ne vois pas d'autre moyen !

Pour info :

[yos]

x en facteur.

[Serru]

x en facteur, j'ai essayé, ça donne :




Je dois être aveugle, mais ça ne me mène nulle part... À moins que j'aie mal compris ce que voulait dire x en facteur ?