équivalents de séries

par **mehdi-128** » 22 Mai 2007, 12:55

Bonjour je bloque sur un oral de centrale qui est:
déterminer un équivalent de :sum(n=1....+inf)(1/sh(nx)) en 0.

Déterminer un équivalent en 0 de sum(n=1....+inf)(1/sh^2(nx)) en 0.

merci .....

par **Pythales** » 22 Mai 2007, 13:26

Pour

,

n'est pas défini

par **mehdi-128** » 22 Mai 2007, 13:39

désolé la somme commence a n=1.

par **yos** » 22 Mai 2007, 14:15

Si on prend la série des équivalents pour x>0 (et pas l'équivalent de la série!), on trouve

mais c'est pas gagné.

par **fahr451** » 22 Mai 2007, 14:51

comparaison série intégrale doit marcher avec

fx (t) = 1 / sh xt mais je ne l'ai pas fait

par **kinounou** » 22 Mai 2007, 14:53

Pour la seconde série:
On montre d'abord que la série de tg 1/sh^2(nx) converge simplement sur R+*, puis:

1/(sh(nx))^2 est équivalent (x->0) 1/(n^2x^2) terme générale d'une série convergente.

Or la série de terme générale x^2/sh^2(nx) converge normalement donc uniformément sur R+*

d'où la série de tg 1/sh^2(nx) est équivalente au voisinage de 0 à 1/x^2*série de tg 1/n^2= Pi^2/(6x^2)

par **fahr451** » 22 Mai 2007, 14:59

donne -ln x / x

fx(t) = 1 /shxt décroit sur [1,+infi] x>0

Intégrale de n à n+1 =
donne en sommant

intég de 1 à +inf de f =< S(x) =< intég( de 1 à +inf de f ) + 1/shx

et l'intégrale se calcule ,équivalente en 0+ à -ln x /x et le résultat

par **mehdi-128** » 22 Mai 2007, 16:53

Ah ok merci beaucoup

Et pour la seconde je vois pas pourquoi on montre :

la série de terme générale x^2/sh^2(nx) converge normalement donc uniformément sur R+*

merci...

par **kinounou** » 22 Mai 2007, 17:37

La convergence uniforme va permettre d'intervertir deux limites (l'une sur x->0 et l'autre sur n->+infini pour la série) donc interversion de limite quand x tend vers 0 et la somme de la série.

par **mehdi-128** » 22 Mai 2007, 17:42

ah ok merci.

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