j'ai trouvé dans un bouquin qui voulait démontrer la convergence des séries de Riemann l'équivalence suivante:
équivalente à
Je demande comment on peut démontrer cette équivalence
Equivalent d'une suite
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Equivalent d'une suite
par euler21 » 04 Mar 2010, 12:02
Bonjour
j'ai trouvé dans un bouquin qui voulait démontrer la convergence des séries de Riemann l'équivalence suivante:^(\alpha-1)-1/n^(\alpha-1))
équivalente à/n^\alpha)
Je demande comment on peut démontrer cette équivalence
j'ai trouvé dans un bouquin qui voulait démontrer la convergence des séries de Riemann l'équivalence suivante:
équivalente à
Je demande comment on peut démontrer cette équivalence
par Nightmare » 04 Mar 2010, 12:22
Salut,
En revenant à la définition, il s'agit de montrer que^{\alpha-1}}-\frac{1}{n^{\alpha-1}}\)\longrightarrow_{n\infty} \alpha - 1)
.
Tu devrais savoir calculer cette limite.
En revenant à la définition, il s'agit de montrer que
Tu devrais savoir calculer cette limite.
par Ben314 » 04 Mar 2010, 12:29
Salut,
Comme presque tout le temps quand tu cherche l'équivalent d'une somme (ou d'une différence), tu commence par factoriser ce qui semble être le "plus important" et ensuite tu réfléchi sur "ce qui reste".
Ici, cela conduit à écrire :
^{\alpha-1}}-\frac{1}{n^{\alpha-1}}<br />=\frac{1}{n^{\alpha-1}}\left(\frac{n^{\alpha-1}}{(n-1)^{\alpha-1}}-1\right)<br />=\frac{1}{n^{\alpha-1}}\left(\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1-\alpha}\,-1\right)<br />=\frac{1}{n^{\alpha-1}}\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{1-\alpha}\,-1\right))
...
Je te laisse finir...
Comme presque tout le temps quand tu cherche l'équivalent d'une somme (ou d'une différence), tu commence par factoriser ce qui semble être le "plus important" et ensuite tu réfléchi sur "ce qui reste".
Ici, cela conduit à écrire :
Je te laisse finir...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par euler21 » 04 Mar 2010, 13:15
j'ai suivi la factorisation de Ben 314 et j'ai effectué un développement limité de la fonction (1+x)^(alpha)
Une autre idée serait la bienvenue
Une autre idée serait la bienvenue
par Nightmare » 04 Mar 2010, 13:17
Et la mienne? Le calcul de la limite s'effectue sans DL, il faut juste connaitre les termes du plus haut degré une fois qu'on a réduit au même dénominateur.
Le numérateur aura pour terme dominantn^{2\alpha-2})
et le dénominateur 
, d'où la limite.
Le numérateur aura pour terme dominant
par Ben314 » 04 Mar 2010, 15:21
Bien sûr, les deux méthodes marchent (elles sont d'ailleurs assez semblables) mais, évidement, je préfère la mienne (étonant, non ? :zen: ) car :
1) Elle ne présuppose pas de connaitre le résultat.
2) Quand Nightmare parle du "terme de plus haut degré" de^{\alpha-1})
, je me permet de lui "rappeler" (en toute ignominie) que 
n'est pas forcément entier et donc que le "développement" de n'est pas un développement polynômial (je pense donc que c'est plutôt un... dévelopement limité :zen: )
1) Elle ne présuppose pas de connaitre le résultat.
2) Quand Nightmare parle du "terme de plus haut degré" de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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