On considère la fonction
Le but est de trouver un équivalent simple en +oo.
Je conjecture que c'est équivalent à
Avez-vous une idée?
Equivalent d'une suite bizarre
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Equivalent d'une suite bizarre
par Nightmare » 10 Oct 2009, 02:46
Salut à tous :happy3:
On considère la fonction
surjective, croissante et définie récursivement par =card(f^{-1}(\{n\})))
.
Le but est de trouver un équivalent simple en +oo.
Je conjecture que c'est équivalent à
(nombre d'or) mais je ne trouve pas de preuve.
Avez-vous une idée?
On considère la fonction
Le but est de trouver un équivalent simple en +oo.
Je conjecture que c'est équivalent à
Avez-vous une idée?
par Doraki » 10 Oct 2009, 07:54
Si f est équivalente à quelquechose, on devrait avoir une équation du genre
f' ( F(x)) * f(x) = 1, où F est la primitive de f nulle en 0.
J'imagine que si on remplace f par un monôme, on obtient ce qu'on veut.
Mais c'est pas exactement une preuve.
f' ( F(x)) * f(x) = 1, où F est la primitive de f nulle en 0.
J'imagine que si on remplace f par un monôme, on obtient ce qu'on veut.
Mais c'est pas exactement une preuve.
par Nightmare » 10 Oct 2009, 13:53
Salut à vous deux !
Doraki > Oui c'est comme ça que j'ai trouvé mon équivalent, en "affinant" le problème mais je ne trouve vraiment aucune preuve discrète ...
Doraki > Oui c'est comme ça que j'ai trouvé mon équivalent, en "affinant" le problème mais je ne trouve vraiment aucune preuve discrète ...
par Nightmare » 10 Oct 2009, 15:43
Salut !
Comme tu dis on sait que f(1)=1. La valeur 1 est prise f(1)=1 fois on en déduit que forcément f(2)=2. La valeur 2 est prise f(2) fois donc par croissance on a forcément f(3)=2.
La valeur 3 est donc prise f(3)=2 fois d'où f(4)=f(5)=3 etc..
Comme tu dis on sait que f(1)=1. La valeur 1 est prise f(1)=1 fois on en déduit que forcément f(2)=2. La valeur 2 est prise f(2) fois donc par croissance on a forcément f(3)=2.
La valeur 3 est donc prise f(3)=2 fois d'où f(4)=f(5)=3 etc..
par mathelot » 10 Oct 2009, 16:32
oui, j'ai peiné !!!
dessin
soit le plan muni du repère orthonormal habituel)
on marque les entiers de l'ensemble de départ
sur l'axe gradué)
soit
le point dde coordonnées (1,0).
on marque les images sur l'axe vertical)
en empilant.
visuellement, ça donne une formule explicite de la suite
sik}{2}+1 \leq n \leq \frac{k(k+1)}{2})
,alors =k)
l'implication précedente est une équivalence.
^2+\frac{7}{4} \leq 2n \leq (k+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4})
en remplaçant k par f(n):
 \leq \sqrt{2n -\frac{7}{4}}+\frac{1}{2})
dessin
soit le plan muni du repère orthonormal habituel
on marque les entiers de l'ensemble de départ
sur l'axe gradué
soit
on marque les images sur l'axe vertical
en empilant.
visuellement, ça donne une formule explicite de la suite
si
l'implication précedente est une équivalence.
en remplaçant k par f(n):
par Nightmare » 10 Oct 2009, 16:45
Soit j'ai mal fait mon dessin , soit je ne vois vraiment pas comment tu obtiens ton encadrement à partir de celui-ci !
Toujours étant, tu trouves donc f équivalente à sqrt(2n), bizarre !
Toujours étant, tu trouves donc f équivalente à sqrt(2n), bizarre !
par mathelot » 10 Oct 2009, 20:27
re,
1 (image) a exactement 1 antécédent {1}
2 (image) a exactement 2 antécédents {2;3}
3 (image) a exactement 3 antécédents {4;5;6}
4 (image) a exactement 4 antécédents {7;8;9;10}
il y a donc
éléments dans)
on voit qu'il y a une formule avec le 1er polynôme de Bernoulli
pour caractériser les antécédents appartenant à)
i
1 (image) a exactement 1 antécédent {1}
2 (image) a exactement 2 antécédents {2;3}
3 (image) a exactement 3 antécédents {4;5;6}
4 (image) a exactement 4 antécédents {7;8;9;10}
il y a donc
éléments dans
on voit qu'il y a une formule avec le 1er polynôme de Bernoulli
pour caractériser les antécédents appartenant à
i
par wserdx » 10 Oct 2009, 22:14
Non, pas d'accord,
\\<br />1 \to 1\\<br />2 \to 2\\<br />3 \to 2\\<br />4 \to 3\\<br />5 \to 3\\<br />6 \to 4\\<br />7 \to 4\\<br />8 \to 4\\<br />9 \to 5\\<br />10 \to 5\\<br />11 \to 5\\<br />12 \to 6\\<br />13 \to 6\\<br />14 \to 6\\<br />15 \to 6\\<br />16 \to 7\\<br />17 \to 7\\<br />18 \to 7\\<br />\ldots)
J'en ai déduit la formule suivante
}) = n)
Suit une démonstration "à la hache" :
Si on suppose qu'il existe
et 
tels que
 \sim \alpha n^\beta)
alors} \sim \alpha n^{\beta+1}/(\beta + 1))
Donc on doit avoir
)^\beta \sim n)
soit\beta = 1)
soit/2)
J'en ai déduit la formule suivante
Suit une démonstration "à la hache" :
Si on suppose qu'il existe
tels que
alors
Donc on doit avoir
soit
soit
par mathelot » 10 Oct 2009, 23:16
bonsoir,
j'étais parti sur
))
autant pour moi. :hum: je me suis trompé.
j'étais parti sur
autant pour moi. :hum: je me suis trompé.
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