Equivalent d'Intégrale
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Narhm
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par Narhm » 04 Déc 2007, 16:59
Bonjour tout le monde !
Je dois chercher l'équivalent d'une intégrale ;
x
R, I(x) =
}{{t^2}(1+{t^2})}dt)
.
Je dois derterminer un equivalent de I(x) au voisinage de +
.
Mon idée pour l'instant était d'encadrer la fonction par deux autres ayant meme intégrale.Ainsi j'arrive à majorer I(x) par
. Mais j'arrive pas à minorer I(x).
Je voulais faire un changement de variable pour u=tx, mais je n'arrive pas à conclure. Et peut etre que ma premiere majoration ne me servira pas en fait.
Si quelqu'un a une idée à me fournir, je suis preneur...
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tize
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par tize » 04 Déc 2007, 17:36
Bonjour,
juste deux questions pour être sur:
1) c'est pas une question mais l'intégrale est par rapport à t et non pas x...
2) c'est
)
ou
^2\))
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Narhm
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par Narhm » 04 Déc 2007, 17:47
Bonjour,
Autant pour moi, j'effectue les modifications sur le premier post pour les erreurs d'écriture. Je m'excuse, je m'essaie à l'écrire Latex.
Donc on integre par rapport à t, d'ou un dt et non un dx, ensuite il s'agit de sin²(tx) et non pas de sin((tx)²).
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yos
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par yos » 04 Déc 2007, 18:10
Bonjour.
J'ai aussi envie de faire u=tx.
=x\left( \int_0^{+\infty}\frac{\sin^2u}{u^2} du-\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2u}{u^2+x^2} du\right))
.
C'est pas gagné.
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Narhm
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par Narhm » 04 Déc 2007, 18:39
Ceci est une question de TD qui pourrait se reporter à mon chapitre sur les suites de fonction et séries de fonction.
Les idées qui suivent au changement de variable devraient etre tourner en direction de ce domaine.
Peut etre encadrer x par des entiers... je ne vois pas...
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tize
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par tize » 04 Déc 2007, 19:36
Avec le changement de variable de Yos et en utilisant les résidus on peut trouver la valeur exacte de I(x) qui ne tend pas (sauf erreurs de calculs habituels) vers 0 en l'infini...tu peux me dire comment tu as fait Narhm pour majorer I(x) par
?
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Narhm
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par Narhm » 04 Déc 2007, 22:20
Salut tize,
Ouai bon, je me suis repenché sur mes calculs et c'est bien moi qui est fait des erreurs de calcul sur ma majoration, mais du coup ca me sert plus à rien presque. Je majorerai I(x) par
.
Je tombe bien sur ton intégrale Yos mais je vois pas quoi faire ensuite, et je n'ai pas cette notion de résidu...
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par tize » 05 Déc 2007, 01:11
Bonsoir,
tu montre d'abord que
du}{u^2}=\frac{\pi}{2})
ensuite dans la deuxième intégrale tu peux faire le changement de variable v=u/x pour te ramener à
dv}{1+v^2})
que l'on peut grossièrement majorer par une constante fois 1/x...
On alors
=\frac{x\pi}{2}+b(x))
où b(x) est une fonction bornée donc
\sim\limits_\infty\frac{\pi}{2}x)
Remarque :
Avec les résidus (que tu verras plus tard) on a même
=\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{4}\(1-e^{-2x}\))
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