Equivalence et nature de séries

par **eratos** » 31 Oct 2012, 15:02

bonsoir. J'ai un peu de mal avec ces histoires d'équivalence entre fonctions.
On veut étudier la nature de

où

si je trouve un équivalent de u en l'infini dont la série converge alors c'est gagné. Sauf que je vois pas absolument comment m'y prendre. Je sais que v=

est équivalent de u, mais le montrer, c'est autre chose. Du coup j'essaie au pif avec la définition de u ~v, on a des choses comme (u-v)/v -->0 et u/v -->1. Là, des formes indetérminées naissent et à part un DL en l'infini ( :zen: ), point d'idées me viennent.

La décomposition du ln peut être?

par **arnaud32** » 31 Oct 2012, 15:09

je suppose que c'est

où

notes que:

et ln(1+x) = x+o(x) au voisinage de 0

par **raito123** » 31 Oct 2012, 15:11

Tu sais bien que ln(1+x)=x+o(x) au voisinage de 0 donc ln(1+x) est bien équivalent à x au voisinage de 0 et ben tu appliques directement ce résultat en rajoutant et retranchant 1 pour avoir

par **eratos** » 31 Oct 2012, 15:15

ah ouais bien vu, merci :lol3:

par **eratos** » 04 Nov 2012, 12:41

eratos a écrit:ah ouais bien vu, merci :lol3:

un autre: a est un réel.
nature de la série de terme général

on obtient

puis avec un DL:

D'où:

La série converge au cas où a=9/2 car

=o(1/n^2) dans ce cas (et o(1/n) autrement donc la série est divergente).

par **raito123** » 04 Nov 2012, 12:57

Exact, la série converge si et seulement si a=9/2.

par **eratos** » 06 Nov 2012, 22:06

Re: :lol3:
Nature des séries:
Peut-on user le théorème des séries altérnées (on a une suite qui en valeur absolue décroit vers 0, alors la série converge)?

on remarque

donc la sutie est alternée, en valeur absolue, la suite décroit et converge vers 0. on conclut...

?

Je pense pas, la série est alternée,

converge vers 0, le point un peu délicat et de montrer la décroissance.
J'ai dérivé pour voir un peu, u(n) croit à gauche de 0 et décroit à droite...(si je me suis pas planté)

par **Le_chat** » 07 Nov 2012, 00:40

Salut.

eratos a écrit:un autre: a est un réel.
nature de la série de terme général
on obtient
puis avec un DL:

D'où:

La série converge au cas où a=9/2 car =o(1/n^2) dans ce cas (et o(1/n) autrement donc la série est divergente).

Pour ceci déjà, le dernier argument est un peu bancal, c'est pas parce que un=o(1/n) que la somme des un ne converge pas.
On peut par exemple dire que si a est différent de 9/2, alors (un) est équivalent à un truc fois 1/n, donc la somme diverge car c'est de signe constant (l'hypothèse signe constant est super importante).

Concernant l'autre exo, petite erreur, c'est un=(-1)^n/ln(n). C'est bien alterné, ça tend vers 0, il te reste à montrer que la suite ( |un| ) décroit, ce qui vrai car (ln(n)) est croissante.

par **eratos** » 20 Déc 2012, 20:57

salut les matheux en herbes: besoin juste de confirmations.
(je peux développer si besoin)

1/n(n+1) converge bien vers 1?

et du coup 1/n(n+k) (k dans N-{0}) converge vers 1/k

Edit: merci le-chat et les autres, je savais que j'avais oublié un truc :lol3: .

par **Le_chat** » 20 Déc 2012, 21:01

Non ça tend vers 0?

par **eratos** » 20 Déc 2012, 21:02

arf;.. je veux dire la série de terme général blabla :marteau:

par **Le_chat** » 20 Déc 2012, 21:11

Pour la somme des 1/n(n+1), c'est bien 1 la limite.

Pour 1/n(n+k), ce n'est pas 1/k.

Pour trouver la limite, on dit:
1/n(n+k)=1/k*(1/n-1/(n+k)), donc:

Continue!

par **adrien69** » 20 Déc 2012, 21:20

1/(n(n+k))=1/k *(1/n - 1/(n+k) )

Donc ta somme n'est plus vraiment télescopique, essaie de regarder la somme partielle S(k+1), tu devrais voir assez facilement quelle sera ta somme.

par **eratos** » 20 Déc 2012, 22:03

j'ai développé, apparemment il reste les termes en 1/n avec 1<=n<=q plus le reste qui tend vers 0, la somme serait

?

par **adrien69** » 20 Déc 2012, 22:14

Avec les notations que tu employais au-dessus ce serait plutôt

Mais oui, c'est ça.

par **Le_chat** » 20 Déc 2012, 22:15

Sans oublier le facteur 1/k !

par **eratos** » 20 Déc 2012, 22:26

géniallll!!! :we: merci
Ayé, je suis chaud pour calculer la somme de la série 1/n² :ptdr:

par **eratos** » 23 Mar 2013, 11:54

La fonction qui fait peur: tangente.

convergence de la série de terme général

?

j'ai trouvé un équivalent de u_n en l'infini:

Je suis coincé. (va falloir apprendre ses formules trigos :mur: )

par **Le_chat** » 23 Mar 2013, 19:45

Non, pas besoin de trigo! Il suffit de se souvenir que tan(x) équivaut à x en zéro.

par **eratos** » 24 Mar 2013, 00:08

tan(x)

x au voisinage de zéro, ça a l'air intuitif, mais comment le prouver?

est-ce que j'ai le droit de faire ça (un DL à un ordre grossier):

ce qui tend vers 1 quand x tend vers zéro.

Merci encore une fois LeChat :lol3:

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