Equivalence des deux définitions de l'injectivité

[Doraki]

Je sais pas pour toi mais chez moi la traduction mathématique de "tout y de Y a au plus 1 antécédent", c'est :
(1) pour tout y de Y, pour tout x1 et x2 de X, si f(x1) = y et si f(x2) = y alors x1 = x2.

L'autre définition est (2) pour tout x1 et x2 de X, si f(x1) = f(x2) alors x1 = x2.

A partir de là c'est pas bien difficile de montrer l'équivalence.

[mathelot]

en maths l'égalité = signifie l'identité


Le mari d'Alice = le père de Charlotte

On a le signe égal car le mari d'Alice est Bob , Bob ayant Charlotte pour fille.

on ne peut être égal qu'à soi-même

donc quand tu écris
f(x)=f(y), c'est la même image, provenant syntaxiquement
des antécédents x et y.

Quand f est injective, toutes les définitions de f(y)
ne donnent qu'un seul nombre comme antécédent.
on écrit donc x=y

Par contre , effectivement, on ne dit rien sur les éléments de F-Im(f),
ce qui permet de construire plusieurs inverses à droite de f,
autant que d'éléments dans F-Im(f)

[mathelot]

Je sais pas pour toi mais chez moi la traduction mathématique de "tout y de Y a au plus 1 antécédent", c'est :
(1) pour tout y de Y, pour tout x1 et x2 de X, si f(x1) = y et si f(x2) = y alors x1 = x2.

A partir de là c'est pas bien difficile de montrer l'équivalence.

si y appartient à Y-Im(f), que devient cette déf ?

[Doraki]

Ben f(x1) = y est faux pour tout x1 donc l'implication est vraie et donc y a bien au plus 1 antécédent par f.

[arnaud32]

si tu veux une version plus formelle de ce que tu as ecrit

comment traduirte mathematiquement: "tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f)."


(*)

pour montrer 1:
soient a et b tels que f(a)=f(b). tu utilises (*) avec y=f(a) et y=f(b) tu as donc l'existence d'un x tels que
et tu en desuis que a=x=b

pour montrer 2:
soit y dans Y. si on prend x et x' dans
f(x)=y=f(x') donc x=x' et

[zygomatique]

salut

franchement et sans vouloir offenser qui que ce soit c'est de la mastur.... intellectuelle ...

il suffit de savoir parler français pour affirmer leur évidente équivalence ....

"deux éléments qui ont même image sont égaux" signifie évidemment que "tout élément possède au plus un antécédent" .... puisque s'il en a un deuxième alors il est égal au premier !!! (*)


"tout élément possède au plus un antécédent" signifie qu'éventuellement f n'est pas surjective d'une part et que d'autre part s'il en a un deuxième alors il est égal au premier .....

:lol3:


(*) on peut évidemment faire une récurrence pour montrer que s'il en a un troisième alors il est égal au deuxième ... mais comme le deuxième est égal au premier ..... alors s'il a n antécédents alors ils sont tous égaux ... :ptdr: