Equations trigo - révisions

[Anonyme]

Bonjour à tous, quelques équations trigo' m'ont posée soucis:

cos(2x) + sqrt(3)sin(2x) + 2 = 0

ici je pense avoir réussi, j'ai posé X= 2x et j'obtiens au final pour l'ensemble de solution: S= -pi/3 + kpi et 2pi/3 +kpi avec k appartenant à Z
J'aurais aimé savoir si ma méthode était correcte, et si on aurait pû procéder autrement.

Par contre celles qui me posent soucis sont les suivantes:

cos(2x)+cos(x) + 1 =0

cos(x)= sin(x) sin(2x)

cos(3x) + 6cos(2x) +15 cos(x) +10 = 0

si vous pouviez orienter mes recherches, ça m'aiderait beaucoup, je tourne en rond :triste: Merci d'avance.

[Anonyme]

Pour cos (2x)+ cos(x) +1 = 0
j'ai dit que cos(2x) = 1-2sin²x

d'où 1-2sin²x +cos(x) +1 =0

or 1-2sin²x = cos²x -sin²x
ou encore sin²x = 1+cos²x

on remplace cette nouvelle expression de sin²x dans l'équation

1-2(1+cos²x)+cosx+1=0
je pose X= cos x

d'où X(-2X+1)=0 et j'en arrive à l 'ensemble de solution:
S= 0 +2kpi , 1/2 +2kpi , -1/2 +2kpi

Est-ce correct?

Et pour cos(x)=sin(x)sin(2x)

j'en arrive à 0=3cos(x)-2cos^3(x)
et je bloque...

[Anonyme]

aucune aide?

[Ericovitchi]

cos (2x)+ cos(x) +1 = 0 tu avais plus vite fait de directement remplacer cos(2x) par 2cos²x-1 ça donne 2cos²(x)+cos x= 0 donc cosx(2cosx+1)=0
donc soit cos x = 0 x = +-pi/2 + 2kpi soit cosx = -1/2 = cos 2pi/3
x= +- 2pi/3 + 2 k pi

tu as l'air d'avoir donné des solutions pour X (en rajoutant quand même du 2kpi ce qui est franchement faux) et pas pour x ?


Pour cos(x)=sin(x)sin(2x) le plus simple est de remplacer sin2x par 2 sinx cos x

(2sin²x -1)cosx=0 d'où soit cos x= 0 soit sin x= +-/2 etc...

[Ben314]

Salut,
Pour la dernière équation, tu procède de même en commençant par montrer que cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)...

[Anonyme]

Exact pour cos(2x)+cos(x)+1=0 je suis allée trop vite j’ai raconté n’importe quoi à la fin, on a bien
X= 0 ou 2X+1=0
Autrement dit en remplaçant X on a : cosx =0
D’où x =pi/2 +2kpi ou x =-pi/2 +2kpi pour la 1ere équation
Et pour la 2ème : cosx= -1 / 2 d’où d’où cos x = cos(2pi/3)
D’où x= 2pi/3 + 2kpi ou x=-2pi/3 + 2kpi
Non seulement le changement de variable était inutile mais en plus j’avais fait une erreur de signe plus haut ce qui m’amenait au cosinus de pi/3 et non 2pi/3. En remplaçant cos(2x) par 2cos²(x)-1 comme vous l’avez fait j’aurais peut être éviter cette erreur. Merci pour ces précieuses précisions.

J’ai suivi vos conseils pour cos(x)=sin(x)sin(2x)
J’obtiens ainsi x= pi/2 +2kpi ou x= -pi/2+2kpi ou x= pi/4 +2kpi ou x=3pi/4 + 2kpi
Merci bien Ericovitchi!

Je regarde ce que je peux faire Ben314. Merci!

[Anonyme]

Après une recherche assidieuse j'ai enfin trouvé cos(3x) = 3cos^3(x) -3cos(x)

En effet:
cos(3x)=cos(2x+x)
= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
=2cos^3x - cosx - sin(2x)sinx
=2cos^3x - cosx -2sinx cosx sinx (on remplace sin(2x) )
=2cos^3x - cosx -2sin²x cosx
=2cos^3x - cosx -2(1+ cos²x)cosx (on remplace sin²x )
=2cos^3x - cosx -2cosx + cos^3x
=3cos^3x - 3cosx

:zen:

[Ericovitchi]

tu dois avoir une erreur quelque part car la relation bien connue c'est
cos(3x) = 4cos^3(x) -3cos(x)

[Anonyme]

Absolument :marteau:

J'ai mal distribué le "2" à mon avant avant dernière ligne.
J'obtiens donc bien

cos(3x) = 4cos^3(x) -3cos(x)

[Anonyme]

Absolument :marteau:

J'ai mal distribué le "2" à mon avant avant dernière ligne.
J'obtiens donc bien

cos(3x) = 4cos^3(x) -3cos(x)

Que faire après ça?

[Ericovitchi]

dans cos(3x) + 6cos(2x) +15 cos(x) +10 = 0 tu remplaces cos (3x) grâce à la formule ainsi que cos (2x) et tu es devant une équation qui est un polynôme en cos x