Équations linéaires récurrentes

[Diesel]

Bonsoir à tous,

J'ai encore une fois un problème de compréhension vis-à-vis d'un sujet en algèbre linéaire. Cette fois-ci, il s'agit des équations linéaires récurrentes.

Donc pour définition, j'ai qu'une équation linéaire récurrente non homogène est une équation du type :


Le polynôme caractéristique d'une telle équation est :


Disons que ce polynôme a comme racine la valeur a de multiplicité

Une solution de l'ELRH est donné par :

Jusque là, j'ai tout compris (et , je précise car j'ai déjà vu d'autres notations). Ensuite vient la partie qui est la vérification de cette solution. Malheureusement, je n'arrive pas à démontrer finalement que :


Quelqu'un pourrait-il me montrer comment cette vérification se fait en toute généralité ?

Merci à vous d'avance et milles excuses pour avoir posé autant de questions ces derniers jour :/

[jlb]

Bonsoir, tu pars de la relation que tu multiplies par x^n soit
tu dérives B fois cette expression, cela donne ( la somme part bien de 0 puisque n+i>=B)

ensuite tu remplaces x par a, cela te donne la relation suivante puisque a est racine de multiplicité alpha>B:


Il reste alors à diviser par B! pour obtenir ta relation puisque

Voila, vérifie si cela marche!!!

[Diesel]

Vraiment merci beaucoup. Mais une question : comment fait-on pour trouver ça rien que par réflexion, car je suis incapable de trouver ce genre de choses par moi-même.

[jlb]

Je suis parti de l'idée que la multiplicité était importante, j'ai donc dérivé la relation, les coefficients qui apparaissaient m'ont conforté dans cette démarche mais il y avait un pb d'indice!!! du coup j'ai cherché ce qui manquait pour avoir le résultat à savoir une valuation assez grande pour que la somme après dérivation commence à i=0 et bingo j'ai pensé à multiplier par x^n. Bon après, une bonne mémoire doit aider (le coup de la combinaison, je l'avais déjà rencontré, c'est assez classique) mais dans quelques mois je serais peut-être incapable de retrouver ce résultat!!!
Et rassure toi, en relisant, même si cela semble logique et "évident" mais j'ai passé pas mal de temps pour trouver !!!