Equations fonctionnelles

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 19:31

Salut tout le monde ,

Voilà je suis tombé sur un exo de la vieille école et je bloque un peu là dessus.

Trouver tous les morphisme de groupes continus

satisfaisant l'équation

.

Je sais que se sont les morphismes du type :

.
Avec cette intuition je sais quoi faire et j'ai même réussi à résoudre le probleme,
mais j'aimerais le "découvrir" sans savoir au préalable ce que c'est que les fonctions puissances .

Merci d'avance .

par **aviateurpilot** » 02 Juin 2007, 19:51

Daniel-Jackson a écrit:Salut tout le monde ,

Voilà je suis tombé sur un exo de la vieille école et je bloque un peu là dessus.

Trouver tous les morphisme de groupes continus satisfaisant l'équation .

Je sais que se sont les morphismes du type : .
Avec cette intuition je sais quoi faire et j'ai même réussi à résoudre le probleme,
mais j'aimerais le "découvrir" sans savoir au préalable ce que c'est que les fonctions puissances .

Merci d'avance .

si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle

sinon klk soit x,

dans ce cas on peux travaille avec Ln(..) pour rendre les produits des sommes
on a

donc

(voila, mtn il y a une somme a l'interieur de

)

pose par exemple

et essaye de trouver

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 23:28

Ah oui pardon f ne s'annule jamais !
f est à valeur dans R*+, positives strictes.

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 23:33

aviateurpilot a écrit:si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle

Mais cette situation ne peut arriver car on a un morphisme de groupe donc f(1)=1 .

par **aviateurpilot** » 02 Juin 2007, 23:35

Daniel-Jackson a écrit:Mais cette situation ne peut arriver car on a un morphisme de groupe donc f(1)=1 .

donc f prend des valeur dan

c'est bien pour utilise ln et exp

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 23:37

aviateurpilot a écrit:si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle

donc (voila, mtn il y a une somme a l'interieur de )

Bonne idée masi le seul ennui c'est qu'au départ dans R* , j'ai une structure multiplicative , mais je pense que ça doit quand même aboutir à partir de là , je vais tenter le coup et voir si je ne peux trouver g d'abord.

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 23:39

aviateurpilot a écrit:donc f prend des valeur dan c'est bien pour utilise ln et exp

J'avais utlisier ln et exp pour trouver l'exposant qu'il faut , mai sça c'est en sachant que c'est déjà de la forme

et j'ai construit un morphisme en montrant que son noyau était R* en entier et on obtient le résultat.

par **Daniel-Jackson** » 02 Juin 2007, 23:46

Oui en fait je vois le truc maintenant .

On montre sans difficultés que g est linéaire et tout s'en suit ......
En tout cas merci .

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