équations différentielles

[sanssecondmembre]

Bonjour,

Je cherche à résoudre ces deux équations différentielles:

la première est du type y'' = f(y)y'^2 + constante
et la deuxième est du type x'' = f(y)x'^2 + constante.

Je n'ai franchement aucune idée de comment les résoudre. Elles sont du 2nd ordre à coefficients non constant, et ressemblent à des équations homogènes et de Riccati (mais on ne peut que parler de celles-ci pour des 1er ordre)...
:briques:

[busard_des_roseaux]

bjr,

pour la 2)

[sanssecondmembre]

mais x n'est pas fonction de y...

[busard_des_roseaux]

De quoi est il fonction ? :doh:

[JJa]

y'' = f(y)y'^2 + c
Paramétrage : on pose y'=u(y)
u'(y)*u(y)=f(y)*(u(y))²+c
équa. dif. de Bernouilli, du premier ordre d'inconnue u(y).
etc.

[JJa]

x'' = f(y)x'^2 + constante
et "x n'est pas fonction de y"
On ne peut pas répondre car l'énoncé de la question est incomplet.
En effet, puisque "x n'est pas fonction de y", alors x est fonction d'une autre variable, disons t par exemple. Dans ce cas, on ne sait pas si y est une constante ou est une fonction de t et dans ce cas si cette fonction est donnée ou non.
L'énoncé doit donc être complété pour qu'une réponse non ambigue soit possible.

[sanssecondmembre]

y et x sont toutes les deux fonctions de la variable t. f est une fonction déterminée qui dépend de y. K est une constante connue.

pour la première: y'' = f(y)y'^2 + K
on pose z = y'

donc sans second membre, ça donne z' = f(y) z^2

on divise par z^2, il vient: z'/z^2 = f(y)

ce qui s'intègre aisément en -1/z = f(y)

ou encore -1/y' = f(y)
donnant y'f(y) = -1

et là, on reconnait (F o y)' = -1 avec F une primitive de f
d'où F o y = -t + cst

en admettant que F soit bijective, on a alors y = F^-1 (-t + cst) :we:

... voilà, ça c'est pour l'équation privée de son second membre K. Pour la soultion particulière, je ne vois pas du tout comment m'y prendre... :mur:

[JJa]

Ce n'est pas une équation linéaire, donc la résolution de l'équation sans second membre n'est d'aucune utilité pour résoudre l'équation complète. En effet, les solutions NE SONT PAS la somme des solutions de l'équation sans second membre et d'une solution particulière.
Pour la première équation, je vous ai donné la méthode hier (message à 22h35 )

[JJa]

Pour la seconde équation:
x'' = f(y)x'^2 + constante
On sait maintenant que x et y sont des fonctions de t, soit x(t) et y(t)
Mais on ne sait toujours pas si y(t) est une fonction donnée ou est inconnue. Je vais supposer que les deux équations ne sont pas indépendantes, ce qui n'est pas clairement indiqué dans l'énoncé initial de la question.
Avec cette supposition, y(t) est obtenu par la résolution de la première équation, donc est connu au moment où on s'attaque à la seconde équation.
Donc f(y)=f(y(t))=F(t) une fonction maintenant connue.
x'' = F(t)x'^2 + constante
Voir alors la réponse de busard_des_roseaux, hier 19h47.

[sanssecondmembre]

d'accord, merci, je vois à peu près, je vais calculer ça...