équations différentielles

[fleursdeschamps]

Bonjour à tous,
celà fait quelques temps que j'essaye de comprendre par moi même comment résoudre des équations différentielles de second ordre avec second membre ainsi qu'avec des conditions initiales. J'ai compris qu'il fallait d'abord résoudre l'équation homogène puis la particulière mais je n'y arrive pas..
voici mon exemple sur lequel je galère... y'' - 3y' + 2y = x exp(x) et les conditions initiales sont y(1)=0 et y'(1)=0

en resolvant l'eq homogène j'obtiens yH = k1 exp(x) + k2 exp (2x) avec K1 et K2 des réels
après je me suis dis qu'il fallait chercher l'équation particulière sous la forme
yp = (ax+b) expx
yp' = expx (a+b+ax)
yp'' = expx ( 2a+b +ax)

je remplace dans l'eq de départ 2a + b +ax - 3(a+b+ax) +2(ax+b)=x
je mets les x ensemble et je trouve -a +0ax = x d'ou a=0 et b=0 ? cette partie me semble bizarre quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

je semble toujours bloquer avec les conditions initiales et je n'arrive jamais à parvenir à un resultat qui pourrait marcher, souvent mes lettres ou constantes sont égales à zero...


merci beaucoup de votre aide

[BiancoAngelo]

Bonjour à tous,
celà fait quelques temps que j'essaye de comprendre par moi même comment résoudre des équations différentielles de second ordre avec second membre ainsi qu'avec des conditions initiales. J'ai compris qu'il fallait d'abord résoudre l'équation homogène puis la particulière mais je n'y arrive pas..
voici mon exemple sur lequel je galère... y'' - 3y' + 2y = x exp(x) et les conditions initiales sont y(1)=0 et y'(1)=0

en resolvant l'eq homogène j'obtiens yH = k1 exp(x) + k2 exp (2x) avec K1 et K2 des réels
après je me suis dis qu'il fallait chercher l'équation particulière sous la forme
yp = (ax+b) expx
yp' = expx (a+b+ax)
yp'' = expx ( 2a+b +ax)

je remplace dans l'eq de départ 2a + b +ax - 3(a+b+ax) +2(ax+b)=x
je mets les x ensemble et je trouve -a +0ax = x d'ou a=0 et b=0 ? cette partie me semble bizarre quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

je semble toujours bloquer avec les conditions initiales et je n'arrive jamais à parvenir à un resultat qui pourrait marcher, souvent mes lettres ou constantes sont égales à zero...


merci beaucoup de votre aide

Salut !

Ok pour dire que

Nous sommes dans le cas où le second membre est de la forme un polynome * exp.
En l'occurence,

Tu dois trouver une solution particulière de la forme avec Q un polynôme.

Or, 1 (du x* exp(1*x)du second membre) est solution simple de l'équation caractéristique. Donc Q est de degré de "x" , + 1.

Donc Q est un polynôme d'ordre 2.

On a donc

Continue déjà avec ça !

[Black Jack]

Une solution particulière est de fa forme y = e^x * (a.x² + b.x + c)

y' = e^x(ax² + (2a+b)x + b + c)

y'' = e^x(ax² + (4a+b)x + 2a + 2b + c)

y'' - 3y' + 2y = e^x(ax² + (4a+b)x + 2a + 2b + c) - 3.e^x(ax² + (2a+b)x + b + c) + 2.e^x * (a.x² + b.x + c)

y'' - 3y' + 2y = e^x(ax² + (4a+b)x + 2a + 2b + c - 3ax² - 3(2a+b).x - 3b - 3c + 2ax² + 2bx + 2c)

y'' - 3y' + 2y = e^x.(-2ax + 2a - b)

à comparer avec y'' - 3y' + 2y = x exp(x)

--> -2a = 1 et 2a-b = 0 (quel que soit c)
a = -1/2 ; b = -1

Une solution particulière est donc y = -e^x.(x + x²/2)

Sol générales : y = k1 exp(x) + k2 exp (2x) - e^x.(x + x²/2)

y(1) = k1 * e + k2.e² - 3e/2 = 0

y'(x) = k1 exp(x) + 2.k2 exp(2x) - e^x.(2x + x²/2 + 1)
y'(1) = k1 *e + 2.k2 *e² - 7e/2 = 0

Il faut résoudre le système :

k1 * e + k2.e² - 3e/2 = 0
k1 *e + 2.k2 *e² - 7e/2 = 0

2k1 + 2k2.e - 3 = 0
k1 + 2.k2 *e - 7/2 = 0

k1 = 3 - 7/2 = -1/2
k2 = (3 + 1)/(2e) = 2/e

Solution : y = (-1/2) * e^x + 2.e^(2x-1) - e^x.(x + x²/2)

y = 2.e^(2x-1) - e^x.(x + x²/2 + 1/2)

:zen:

[zygomatique]

salut

b disparaît de l'équation finale donc il est quelconque ... tout comme k1 ....

donc une solution particulière de la forme (ax + b)exp(x) ne convient pas ...

essaie avec (ax² + bx + c)exp(x) ....

[zygomatique]

[fleursdeschamps]

merci à tous pour vos réponses, c'est super !
J'ai fait comme vous m'avez dit et c'est allez tout seul, j'ai trouvé comme toi Black Jack, merci à tous pour votre aide !
Bientot je serais là pro des équa diff :lol3:

[fleursdeschamps]

Bon je ne suis décidemment pas encore au point sur les équa diff du second ordre avec second membre..
j'essaye de résoudre y"-2y'+2y = exp(x)sin(x)
je pense que mon soucis est de trouver l'équation particulière...

pour moi yp = exp(x) (acos(x) + bsin(x)) et je dérive en appliquant la dérivée d'un produit mais je n'arrive jamais à trouver un résultat correct..

est ce que mon équation particulière que je dois utiliser est juste pour l'identification des lettres a et b ?

j'ai vraiment du mal..

merci de votre aide

[zygomatique]

à nouveau le second membre apparaît dans l'ensemble des solutions de l'équation homogène !!!!!