équations différentielles

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 13:51

bonjour j'ai une équation à résoudre et je n'y arrive pas

y"-4y'+4=(x²+1)e^x

quelqu'un pourrait-il m'aider??

par **sirglorfindel** » 04 Mar 2006, 13:58

tu n'as pas oublié un y pour 4y ?

par **sirglorfindel** » 04 Mar 2006, 14:14

je vais considerer que l'équation est y''-4y'+4y=(x²+1)e^x.

La résolution se fait en deux étapes :
tout d'abord on résout l'équation homogène associée, à savoir y''-4y'+4y=0. Pour cela, on a l'équation caractéristique x²-4x+4=0 qui a une solution double 2. Donc les solutions sont de la forme : x->(Ax+B)e^(2x)

ensuite, on cherche une solution particulière : normalement, dans le cours il doit y avoir qu'elle est de la forme un polynôme fois e^x (car le second terme de l'équa diff est comme cela)
On cherche donc une solution de la forme (ax²+bx+c)e^x. Tu calcules y', y'', tu remplaces dans l'équa diff, tu identifies et tu dois obtenir (x²+4x+7)e^x.

La solution générale de l'équation est donc (Ax+B)e^(2x)+(x²+4x+7)e^x
Il se peut que tu ais à déterminer A et B avec des conditions initiales.

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 17:29

mais mon énoncé initial était bon c'est y"-4y'+4=(x²+1)e^x

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 17:39

Personne ne vuet m'aider?? :cry:

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 18:51

Dans le cas : Y" - 4Y ' + 4 = (x² + 1)ex
Equation caractéristique : X² - 4X = 0
Deux racines = 0 et = 4
Solution de l'équation homogéne : Y1(x) = ae4x + b

mais après je fais quoi du second membre?

par **abcd22** » 04 Mar 2006, 18:53

Mais c'est bizarre quand même d'avoir une équation avec des y'', y' et pas y, c'est une équation du premier degré dans ce cas-là, pourquoi ne pas avoir écrit z'-4z = (x²+1)e^x - 4 ?
Bon, en supposant que ce soit ça, l'équation homogène est facile à résoudre, ensuite on cherche une solution particulière à z'-4z = (x²+1)e^x avec la technique donnée par sirglorfindel, puis une solution particulière à z' - 4z = -4. Comme z = y' il reste à intégrer pour trouver y.

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 18:56

ce n'est pas bon ce que j'ai fait en premier???

par **abcd22** » 04 Mar 2006, 19:01

Si ça marche aussi. Pour le second membre ben sirglorfindel a dit ce qu'il fallait faire.

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 19:03

ça donnerait quoi?

par **abcd22** » 04 Mar 2006, 19:06

Fais les calculs... (d'abord y'' - 4y' = (x²+1)e^x avec y = (ax² + bx +c)e^x, puis y'' - 4y' = -4 avec y polynôme de degré 1)

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 19:08

Ce n'est pas bon ce que j'avais fait au dessus????

par **combatlesmaths** » 04 Mar 2006, 19:49

peut on m'aider??

par **combatlesmaths** » 05 Mar 2006, 09:35

pouvez vous m'aider?

par **combatlesmaths** » 05 Mar 2006, 09:46

quelqu'un peut m'aider?

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 09:48

Ce que tu as fait au début est bon... mais pour trouver la solution particulière, il faut tout de même utiliser la méthode déjà expliquer :
cherche d'abord avec y'0=(ax²+bx+c)e^x et il suffira ensuite d'ajouter un +4 à y'0 pour trouver une solution particulière...
Teste pour voir

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 09:48

petite erreur, il ne faut pas ajouter +4 mais soustraire 4...

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 09:59

j'ai trouvé y'=(-1/3x²-2/9x-11/27)e^x-4
et il ne reste plus qu'à intégrer pour trouver y
Bon courage

par **combatlesmaths** » 05 Mar 2006, 10:50

personne ne veut m'aider?

par **sirglorfindel** » 05 Mar 2006, 11:12

sois plus explicite sur ce que tu n'as pas compris si tu veux l'aide plus précise...

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