équations différentielles

[Nitronque]

bonjour à tous

je dois résoudre l'équadiff :

avec 3 cas :
1/
2/
3/

Ds un 1er tps, je résouds l'ESSM, et je trouve comme solution, pr y ne s'annulant pas et (par cohérence avec les calculs intermédiaires)

Je pense que c'est bon puisque j'ai testé la solution, sachant que pr , y ne s'annule pas , C étant une cte d'intégration résultant de la résolution de l'ESSM.
(Et pr x = 0, y est la fonction nulle).

Voilà pr l'ESSM, étape préalable commune à la résolution des 3 cas.

Il faut maintenant déterminer une solution particulière ds chacun des 3 cas qui, ajoutée à l'ESSM commune aux 3 cas, donnera la solution générale des 3 équadiff.

Le cas 1 j'ai trouvé la solution (vérifiée).

Je bute sur le cas 2.
J'aurais tendance à dire qu'une solution part serait de la forme , puisqu'on multiplie y par x ds le 2ème terme du 1er membre, dc

mais c'est en essayant de trouver par identification, sachant qu'il me reste un terme en sin, je trouve des incohérences. Pouvez-vs me guider svp.

NB : j'en suis arrivé à essayer de poser , mais c'est une fausse piste et je ne sais pas encore comment m'en sortir.

Merci de m'aider

[el niala]

2) as-tu essayé ?

[Nitronque]

rebonjour

commençant à te connaître un peu, je suppose que si tu me le suggères, c'est que ça doit être une bonne idée....

mais il me semblait avoir compris que la solution part (aux coeff à identifier près) devait avoir la même forme que le 2ème membre de l'équadiff , et à la cohérence des degrés des fonctions pnm (comme ds le cas 1) et rationnelles près...

J'ai mal compris? Je me lance sur cette piste ?? C'est vrai que pr y', de tte façon je vais me retrouver avec des sin.

Merci de me dire

[el niala]

J'ai mal compris? Je me lance sur cette piste ?? C'est vrai que pr y', de tte façon je vais me retrouver avec des sin.

c'est bien pour ça :lol3:

vas-y sans crainte, c'est une bonne piste

et comme je risque de m'absenter un certain temps, la variation de la constante marche bien pour la 3ème question

[Nitronque]

c'est bien pour ça :lol3:

vas-y sans crainte, c'est une bonne piste

et comme je risque de m'absenter un certain temps, la variation de la constante marche bien pour la 3ème question

Je trouve après développements et simplifications

à identifier (si je ne me suis pas trompé) avec et ....

Et si j'essayais la méthode de la variation de la cte pr ce cas N° 2 ? Non ?

Merci de me dire qd tu reviendras

[el niala]

2) revois ton calcul, je viens de vérifier

3) la variation de la constante marche bien

[Nitronque]

Bonjour

j'ai essayé la 3 avec la méthode de la variation de la constante.

J'arrive à .

Si cette étape intermédiaire est bonne, je n'arrive pas à calculer l'intégrale ; je ne me rappelle plus de la méthode, pouvez-vs m'aider à démarrer svp.

Merci

[Nitronque]

Bon par tâtonnements (il me semblait bien qu'il y avait du ln|x+1| et du )j'ai trouvé : (à une cte d'intégration près).

Une solution particulière est dc (en supposant la cte d'intégration mentionnée ci-dessus prenant la valeur 0) :

la solution complète serait dc : .

En supposant que ce soit ça, reste le pb de , que j'ai calculée par intuition et essais.

C'est pas normal de procéder comme ça...Dc je prolonge le sujet et vs demande svp de m'indiquer une méthode pr calculer un intégrale de ce type.

merci d'avance, et joyeux Noël

[el niala]

Merci, pour toi aussi, pas trop de temps pour te répondre, mais si j'ai bien lu c'est 1/x²(x+1) que tu as du mal à intégrer

1/x²(x+1)=1/(x+1) + 1/x² - 1/x qui s'intègrent facilement

[Nitronque]

Oui j'ai retrouvé cette décomposition en éléments simples de l'intégrale à calculer.

Je trouve alors comme solution particulière de l'équadiff




soit comme solution complète

, pr .

Pr x = 0 , on a y = -f(x).
Pr x = -1 , f n'est pas définie.

D'accord avec mes résultats ?

Merci de me dire

[el niala]

la première forme que tu donnes est bien la forme générale, pourquoi introduire une seconde constante ?

pour x=0, pas la peine de préciser, tu peux vérifier que la forme générale trouvée donne y=-1 et non pas f(x) (lequel du reste ?)

OK pour la non définition en x=-1

[Nightmare]

Salut à tous,

je ne suis pas du tout d'accord avec la résolution proposée pour la raison simple que lorsqu'on résout une équation différentielle, on veut que la solution soit dérivable et sans plus précision dans l'énoncé, on veut qu'elle le soit sur l'ensemble le plus gros possible.

L'apparition de la valeur absolue dans vos solutions retire la dérivabilité des solutions en certains points, il faut donc faire un raccord dérivable en ces points.

Lorsqu'on résout une équation différentielle dont un coefficient de y' peut s'annuler, il faut scinder l'ensemble de résolution en plusieurs bouts sur lesquels les coefs ne s'annulent pas, résoudre l'équation sur chaqun de ces bouts puis recoller les morceaux.

[el niala]

Salut à tous,

je ne suis pas du tout d'accord avec la résolution proposée pour la raison simple que lorsqu'on résout une équation différentielle, on veut que la solution soit dérivable et sans plus précision dans l'énoncé, on veut qu'elle le soit sur l'ensemble le plus gros possible.

L'apparition de la valeur absolue dans vos solutions retire la dérivabilité des solutions en certains points, il faut donc faire un raccord dérivable en ces points.

Lorsqu'on résout une équation différentielle dont un coefficient de y' peut s'annuler, il faut scinder l'ensemble de résolution en plusieurs bouts sur lesquels les coefs ne s'annulent pas, résoudre l'équation sur chaqun de ces bouts puis recoller les morceaux.

certes, mais dans le cas 3 et au point x=-1, f(-1) n'est assurément pas définie, donc certainement pas dérivable, quant au point x=0, pour lequel Nitronque a fait à l'évidence une erreur de calcul, je lui fais simplement remarquer que la forme générale donne le résultat de l'ED qui n'en est plus une !

[Nitronque]

"pourquoi introduire une seconde constante ?"

C1 est la constante qui va avec le calcul de l'intégrale dt j'ai eu besoin pr déterminer une solution particulière.

K est la cte retenue ds la solution de l'équation homogène.

Qd j'additionne les 2 solutions pr obtenir la solution complète, j'ai les 2 Ctes qui sont en facteur commun avec

Je dis une bêtise ?

"pour x=0, pas la peine de préciser, tu peux vérifier que la forme générale trouvée donne y=-1 et non pas f(x) (lequel du reste ?)" Oui,exact , pardon