Equations différentielles

[J+10]

Bonjours à tous et à toutes, :happy2:

>Je n'arrive pas à saisir la méthode pour résoudre les équations différentielles dites de Riccati, c'est à dire de la forme x' = ax² + bx + c :help:

par exemple, pour mon premier exercice: x' = (1/t)x - x² - 1/t² avec x1(t)= 1/t comme solution particulière.

>Ensuite, il en est de même pour les équations du type : x'' + ax' + bx = c :help:

par exemple, pour mon premier exercice: x'' + x = tg(t)

Voilà voilà, si vous pouviez me donner les méthodes à suivre et me les expliquer je vous en serais très reconnaissant :we:

Merci d'avance :zen:

[girdav]

Bonjour,
pour l'équation de Riccati, de la forme avec une solution particulière, on cherche une solution de la forme . On a

puis on se ramène à une équation de Bernoulli.

[J+10]

Merci de ta réponse =) J'ai du mal à comprendre le développement, comment on passe de (y-x0)' à la suite, et comment on passe de la suite à la deuxième ligne (le u qui s'ajoute) etc ... =S

[girdav]

On a et on se sert du fait que et sont solution.
Pour la suite, on fait apparaître en factorisant : .

[J+10]

Ok merci je vais y réfléchir =) Merci encore pour ton aide !

[girdav]

Pour la seconde c'est la résolution de l'équation homogène qui te gêne ou bien la recherche d'une solution particulière?

[J+10]

Et bien en fait pour la deuxième, j'avais appris sans seconde membre, c'est à dire de la forme ; x'' + ax' + bx = 0 (en considérant l'équation caractéristique r²+ar+b = 0 etc ...) mais je ne connais pas la méthode lorsque que l'on a un seconde membre comme pour cette équation ci : x'' + x = tg(t) qui est de la forme x'' + ax' + bx = c.

Est ce que je dois tout simplement résoudre sans second membre, et ensuite résoudre avec second membre ? (comme pour une équation différentielle du premier ordre avec second membre)

[Ericovitchi]

Quand tu as un second membre il faut trouver une solution particulière et l'ajouter à la solution sans second membre.
Pour trouver une solution particulière il y a des methodes (comme la methode de la variation de la constante par exemple.

[J+10]

Ok d'accord merci =) mais en fait, je sais résoudre une équation différentielle du second ordre mais que lorsque les paramètres a, b et c sont constant (grâce à l'équation caractéristique r² + ar + b = 0) donc de la forme y'' + ay' + by = c, or si ces paramètres ne sont pas constants (y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)) je ne sais pas du tout faire ... si quelqu'un pourrait m'aider ... petit exemple, je dois résoudre y'' + (2/t)y' + y = 0 avec y1(t) = sin(t) / t , solution de l'équation différentielle. Eviter de me donner la réponse, j'aimerais le faire moi même, j'aimerais juste savoir la méthode à suivre pour résoudre ce genre d'équation ..

[Ericovitchi]

Donc tu es devant une équation différentielle pour laquelle tu connais une solution particulière y1.
La méthode consiste à poser y = y1(t).z(t)
Ca va te ramener à une équation qui s'intègre comme une équation du premier ordre.

[J+10]

et ce y au final ce sera la solution de l'équation ?

[Ericovitchi]

oui. Tu poses y = y1(t).z(t) tu calcules y', y" , tu remplaçes dans l'équation et tu te retrouves avec une équation différentielle en z,z',z". Tu la résous (elle se résous plus facilement, c'est pour ça que l'on a fait le changement de fonction) et une fois que tu as une expression de z alors tu en déduis y.

[J+10]

Ok je te remercie !