équations différentielles avec une matrice diagonalisable?

[ilsraa]

Bonjour,

J'ai un exercice ou il faut dans le a) diagonaliser une matrice, c'est fait.
la matrice à diagonaliser A est celle-ci:

1/3 1/3 -1/3
0 0 -1
-2/3 -2/3 -1/3


Je trouve:
1,0,-1 comme valeur propre.

Donc j'ai v1, v2, v3 comme vecteur propre

-1
v1=-1
1

1
v2= -1
0

0
v3= 1
1

après un calcul je trouve la matrice diagonalisable est

1 0 0
0 0 0
0 0 -1

Ce qui est normal(les valeurs propres)

Puis dans le b) je dois résoudre un système d'équations différentielles:

x1'=(x1)/3+(x2)/3-(x3)/3
x2'=-(x3)
x3'=-2(x1)/3-2(x2)/3-(x3)/3

avec conditions initiales x1(0)=x2(0)=0,x3(0)=1


Je remarque que le système à un rapport avec la matrice A, mais je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance!

[Maxmau]

Bj ton système s'écrit: X' = AX où X est la colonne x1,x2,x3
A = PDP^(-1) Où D est ta matrice diagonale
En posant Y = P^(-1)X que devient ton système ?

[ilsraa]

Bj ton système s'écrit: X' = AX où X est la colonne x1,x2,x3
A = PDP^(-1) Où D est ta matrice diagonale
En posant Y = P^(-1)X que devient ton système ?

-(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y1
2(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y2
(x1)/3+(x2)/3+2(x3)/3=y3

?

Merci

[ilsraa]

-(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y1
2(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y2
(x1)/3+(x2)/3+2(x3)/3=y3

?

Merci

et après je fais quoi? merci

[Maxmau]

-(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y1
2(x1)/3-(x2)/3+(x3)/3=y2
(x1)/3+(x2)/3+2(x3)/3=y3

?

Merci

????????
ton système s'écrit: X' = AX où X est la colonne x1,x2,x3 (X' est la colonne des dérivées)
A = PDP^(-1) Où D est ta matrice diagonale
En posant Y = P^(-1)X , on a aussi Y' = P^(-1)X' (puisque les coeff de P^(-1) sont constants.
le système s'écrit X' = PDP^(-1)X' soit encore P^(-1)X' = D P^(-1)X' cad finalement Y' = DY
Cette dernière équation s'écrit sous forme de 3 équations scalaires toutes simples (où les inconnues sont y1,y2,y3.
Une fois trouvés y1,y2,y3 il est facile de calculer x1,x2,x3

[ilsraa]

????????
ton système s'écrit: X' = AX où X est la colonne x1,x2,x3 (X' est la colonne des dérivées)
A = PDP^(-1) Où D est ta matrice diagonale
En posant Y = P^(-1)X , on a aussi Y' = P^(-1)X' (puisque les coeff de P^(-1) sont constants.
le système s'écrit X' = PDP^(-1)X' soit encore P^(-1)X' = D P^(-1)X' cad finalement Y' = DY
Cette dernière équation s'écrit sous forme de 3 équations scalaires toutes simples (où les inconnues sont y1,y2,y3.
Une fois trouvés y1,y2,y3 il est facile de calculer x1,x2,x3

Parfait Merci enormément!