Equations complexes

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 14:43

Comment resoudre cette equation dans C z^3+3z-2i=0 ?
On ma parler de (z+2i)(az^2+bz+c) mais je ne comprend pas .
Merci

par **Nightmare** » 21 Oct 2010, 14:46

Salut,

Ben c'est comme dans R, -2i est racine "évidente" du polynôme z^3+3z-2i donc on peut le factoriser par (z-(-2i))=z+2i . Comme il est de degré 3, le deuxième facteur sera de degré 2. On peut l'obtenir en développant par exemple (z+2i)(az²+bz+c) et identifier a, b et c de sorte à ce qu'il soit égal à z^3+3z-2i

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 14:48

si tu connais une racine tu pourras factoriser ton polynome et descendre d'un degre.
-2i est il racine par ex?

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 14:50

Ok merci je viens d'identifié a qui vaut 1 mais je me retrouve avc 2 equations
3z+bz²-cz=0
-2i=2iz²+2iz+2ibz+2ic .

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 14:56

3z-bz²-cz dsl .

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 15:10

personne pour me repondre??

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 15:17

z^3+3z-2i=(z+2i)(z²-2i*z-1)

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 15:21

Oui sa me donne
z^3=az^3 dc a=1
3z=bz²+cz
-2i=2iz²+2ibz+2ic
et la je coince =S

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 15:23

le plus simple c'est de faire une division euclidienne

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 15:24

c'est a dire?

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 15:32

ca se pose comme les divisions que tu faisais en primaire
tu pars de z^3+3z-2i et (z+2i)
pour eliminer les z^3 tu vas enlever z²*(z+2i) à z^3+3z-2i
z^3+3z-2i - z²*(z+2i) = -2iz²+3z-2i
et tu recommennces
pour eliminer les z² tu retranches-2iz*(z+2i) à -2iz²+3z-2i
-2iz²+3z-2i +2iz*(z+2i) =-z-2i=-1*(z+2i)
et au final tu as:

z^3+3z-2i = z²*(z+2i) -2iz²+3z-2i
= z²*(z+2i) -2iz*(z+2i)-1*(z+2i)
= (z+2i)*(z² -2i*z-1)

par **Ben314** » 21 Oct 2010, 15:39

Sam77 a écrit:Ok merci je viens d'identifié a qui vaut 1 mais je me retrouve avc 2 equations
3z+bz²-cz=0
-2i=2iz²+2iz+2ibz+2ic .

Je pense surtout que, tes deux équations, c'est... n'importe quoi !!!
Quand on veut traduire le fait que deux polynômes sont égaux en terme de système d'équations, on écrit que :
- Les constantes sont les mêmes
- Les coeffs en z sont les mêmes
- Les coeff en z² sont les mêmes.
... etc ...
Bien entendu, le système que tu obtient ne contient plus la lettre z vu que tu n'as pris que les coefficients des polynômes pour l'écrire !!!

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 15:40

j'ai compris Merci = )
Et de (z+2i)*(z² -2i*z-1) je resoud z+2i=0 et z² -2i*z-1=O ?

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 15:41

oui c'est ca.

par **Ben314** » 21 Oct 2010, 15:42

Ben, il me semble bien qu'effectivement, dans C, pour qu'un produit soit nul, il faut (et il suffit) qu'un des facteurs soit nul.

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 15:58

je trouve z1=-2i
z2=(2i-V6i)/2
z3=(2i+V6i)/2
C'est bon?

par **arnaud32** » 21 Oct 2010, 16:10

je crois que:
z² -2i*z-1 = z² -2i*z +i² = (z-i)²

par **Sam77** » 21 Oct 2010, 16:22

Merci J'ai reussi a resoudre et en verifiant, mes solutions sont bonnes = )

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