équations avec intégrales

[wkj]

Salut,

Comment résoudre cette équation ? (il faut déterminer la ou les fonction(s) inconnue(s) f, si existence est)



j'avoue ne jamais avoir vu ce genre d'équation, et j'ai tout essayé :

- dériver (plusieurs fois) pour essayer de la transformer en équation différentielle : impossible d'obtenir une relation par rapport à l'expression de départ, l'intégrale ne veut donc pas sauter...

- IPP : ne mène à rien de convaincant, comme pour la dérivation.

Si vous avez une suggestion n'hésitez surtout pas ! (Si possible une ou des solutions non sorties du chapeau, car ca ne prouvera pas l'exhaustivité, ou voir l'unicité de la ou des solutions).

[DamX]

Bonjour,

j'ai regardé rapidement, je n'ai pas de solution complète mais ça peut faire avancer le schmilblick :

le membre de droite a un faux air de primitive de xln(x). Donc j'ai testé avec f(x)=x, on trouve



Donc g(x) = -4x est solution (c'est toujours ça de pris).

Ensuite si on écrit f(x) = -4x + g(x) (ce que l'on peut toujours faire), on voit que l'équation se ramène à résoudre :


On s'est ainsi ramené à une sorte d'équation homogène, potentiellement plus simple à résoudre (mais je n'ai pas été plus loin).

Damien

[wkj]

Merci ! c'est limite sortie du chapeau, mais je te remercie quand même !

je serais tenté de dire que g(x) = 0 vu que ca porte pour tout x > 0 ...

[DamX]

Merci ! c'est limite sortie du chapeau, mais je te remercie quand même !

oui c'est pour ça déjà que j'ai détaillé "comment" je l'ai trouvée.

je serais tenté de dire que g(x) = 0 vu que ca porte pour tout x > 0 ...

C'est assez tentant en effet, mais la présence du x dans le Log qu'on ne peut pas conclure cela - en tout cas pas si directement.

Déjà on peut montrer que nécessairement f va d'annuler une infinité de fois entre 0 et 1/2 :
le Log étant toujours négatif entre 0 et 1, ce fait que f va nécessairement changer de signe pour que l'integrale puisse être nulle (en prenant x=1/2 par exemple). Donc on trouve un point d'annulation x1 entre 0 et 1/2.
On recommence en x=x1, Memes causes mêmes conséquences on a un x2 point d'annulation de f entre 0 et x1.
Etc..

f s'annule donc une inifinite de fois, mais Ca ne suffit toujours pas pour conclure que f est nulle (ex : sin(1/x) vérifie ça).

Damien

[wkj]

peut on convertir l'équation en produit de convolution ?

EDIT : en posant t -> -t je viens de me rendre compte que non...
j'ai :

[nicomezi]

En posant g(t)=f(-t)
On obtient



Cette forme n'est pas très jolie à cause du domaine du définition du ln et n'est pas très utile ici mais on peut effectivement se ramener à un produit de convolution.

[wkj]

En posant g(t)=f(-t)
On obtient



Cette forme n'est pas très jolie à cause du domaine du définition du ln et n'est pas très utile ici mais on peut effectivement se ramener à un produit de convolution.

[leitmotiv] spotted !

c'est faux à partir du moment où tu poses g(t) = f(-t)
en effet tu effectues implicitement le changement de variable -t -> t et tu ne le répercutes pas dans l'intégrale (ln(x-t) deviendra ln(x+t), ca fera tout foirer).

[nicomezi]

[leitmotiv] spotted !

c'est faux à partir du moment où tu poses g(t) = f(-t)
en effet tu effectues implicitement le changement de variable -t -> t et tu ne le répercutes pas dans l'intégrale.

Parce que ce n'est pas un changement de variable. Je pose une nouvelle fonction ici pour obtenir la forme de la définition du produit de convolution.
Et oui c'est bien moi, Nicomezi est mon pseudo principal.

[wkj]

en posant par exemple g(t) = -t²+t qui n'est ni paire ni impaire
en résolvant l'équation f(-t) = g(t) on obtient
f(-t) = -t²+t
f(t) = -(-t)²-t <== étape ou on fait le changement de variable -t vers t
f(t) = -t²-t

je doute fortement que je sois tombé sur un cas particulier...

[nicomezi]

Je ne comprends pas en quoi cela rend cette opération invalide.
Bien entendu que g(t)=/=f(t)
Mais c'est f(-t) que je remplace dans mon intégrale.

Je pose une nouvelle fonction que je définit par g(t)=f(-t) c'est tout.

[DamX]

Tu retrouves bien un produit de convolution comme ça.
La question est : que vas-tu faire de ton produit de convolution (wkj) ?

[nicomezi]

Rien du tout.
C'était une piste que je lui ai donné rapidement en passant par la transformée de Fourier sur un autre site mais effectivement ici ça ne sert à rien et ça complique même beaucoup le problème.

[wkj]

Si c'est effectivement correct (de gros doutes sur l'existence de cette intégrale vu le domaine de déf de ln), on peut appliquer la transformée de fourier inverse pour briser l'intégrale et séparer le f du ln

je laisse l'avis à d'autres personnes plus expérimentes que moi