Equation d'une liste de points ?

par **pmfontaine** » 18 Oct 2006, 09:10

Bonjour,
Mais cours de math sont loin (35 ans), et je ne sais pas comment trouver l'équation y=f(x) d'une liste de point. Il me faudrait également le Rayon de courbure et le centre du rayon de courbure.
La solution a ce cas m'intéresse bien sur, mais la méthode pour trouver les équations m'intéresse encore plus.
X Y
29,654 -10,793
31,695 -6,737
33,163 -2,319
34,175 7,264
34,004 2,378
33,623 12,238
32,337 17,194
30,313 22,024
27,562 26,617
24,109 30,859
20,001 34,643
15,301 37,873
10,088 40,46
4,447 42,306
-1,514 43,353
-7,68 43,554
-13,927 42,864
-20,127 41,266
-26,148 38,766
-31,85 35,373
Merci
Patrick

par **tize** » 18 Oct 2006, 09:15

Cherches -tu par hasard à trouver un polynome dont le graphe passe par tous les points que tu nous à énuméré ?
Si c'est le cas, tu peux utiliser les polynomes interpolateur de Lagrange, il y a des explications ici

par **Quidam** » 18 Oct 2006, 09:52

Tu ne peux pas trouver une fonction y=f(x) car à un même x correspondent plusieurs valeurs de y. J'ai relié tes points, et ça donne ça !

Ca ressemble beaucoup à un cercle ! Mais il me semble que la courbure de cette courbe varie ! Veux-tu trouver le meilleur cercle approximation possible ? La meilleure ellipse ? Est-ce plutôt une spirale ?

par **pmfontaine** » 18 Oct 2006, 10:20

Rebonjour,
Merci pour votre réponse.
Oui je cherche le polynome qui passe par tous les points.
Pour info ces point corresponde a un profil de came mécanique, et il est possible que cette courbe soit une spirale. Je vais donc voir ce je trouve mon "bonheur" dans "les polynomes interpolateur de Lagrange"
En admetant que je trouve le polynomes qui vas bien. Pouvez me donner des lien pour rafraichir ma mémoire sur les rayons de courbure d'une courbe plane ?
Patrick

par **Quidam** » 18 Oct 2006, 11:21

pmfontaine a écrit:Je vais donc voir ce je trouve mon "bonheur" dans "les polynomes interpolateur de Lagrange"

Je n'ai posté le dessin qu'à 9h52 : tize ne l'avait pas encore vu. Il croyait, comme moi d'ailleurs avant que je trace la courbe, qu'à une valeur de x correspondait une seule valeur de y. Mais ce n'est pas vrai ici. Si une équation mettant en jeu un polynôme peut représenter ta courbe, ce ne peut être qu'une équation du type f(x,y)=0 et pas une équation du type y=f(x) ! Or le polynôme interpolateur de Lagrange donne une formule du type y=f(x). Ici, c'est impossible !

Par contre on peut envisager une formule du type

, en coordonnées polaires par rapport à une certaine origine astucieusement choisie. Mais il y a des milliers de possibilités. Cela te faciliterait la tâche d'avoir une idée plus précise de la sorte de spirale dont il s'agirait.
Ou encore, on pourrait chercher deux formules du genre :

et

que l'on appelle équations paramétriques : en faisant varier t, on fait varier x et y et on se balade sur la courbe. Mais là aussi, on peut faire des milliers d'essais sans réel succès si on n'a pas un minimum d'information sur la manière dont cette courbe a été engendrée !

P.S. En fait, cela ressemble un peu à une spirale logarithmique du genre :

par **c pi** » 18 Oct 2006, 11:35

Bonjour

pmfontaine a écrit:Pouvez me donner des liens pour rafraichir ma mémoire sur les rayons de courbure d'une courbe plane ? Patrick

En voilà deux pour le prix d'un seul :
- un empirique,
- un mathématique.

par **Quidam** » 18 Oct 2006, 12:28

Effectivement, on parvient à une excellente approximation avec une courbe du type

Ci dessous j'ai superposé en rouge la courbe d'équation :

par **pmfontaine** » 18 Oct 2006, 15:41

rerebonjour,
Aprés avoir regarder vos differentes solutions, J'ai transformé mes coordonnées cartésiens en cordonnée polaire:
téta Ro
-0,349060689 31,55706838
-0,209440107 32,40308927
-0,069813684 33,24398186
0,209436137 34,93846478
0,069819277 34,08704886
0,34907186 35,7809275
0,488694893 36,62397036
0,628325361 37,46911455
0,767957749 38,31616543
0,907585159 39,16020636
1,047200698 40,00221806
1,186839446 40,84708961
1,326445834 41,69867317
1,466065812 42,53908138
1,605704752 43,37942836
1,745334923 44,22593488
1,884948041 45,0697662
2,024586376 45,91273119
2,164208323 46,76024658
2,303834733 47,59907172
Et si je transforme ça en graphique Excel j'ai une belle droite, et je trouve une équation polaire : Ro = 6,0484Téta + 33,669
Mais malgrés les liens c pi, je ne sais pas trouver le rayon de courbure de cette courbe (Polaire) et encore moins le centre de ce rayon.
Merci d'avance
Patrick

par **c pi** » 18 Oct 2006, 19:06

Bonsoir

pmfontaine a écrit:Mais malgrés les liens c pi, je ne sais pas trouver le rayon de courbure de cette courbe (Polaire).

Ce rayon de courbure

n'est pas un nombre constant,
il varie en fonction de l'angle

et peut s'exprimer par la formule

où, dans ton cas particulier,
celui d'une spirale d'Archimède
d'équation polaire

)

et dans la proposition de Quidam,
cas d'une spirale logarithmique
d'équation polaire

La spirale logarithmique a des propriétés particulières qui peuvent t'intéresser

On remarque que la tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant vérifiant la propriété suivante :

où ln(b) représente le logarithme népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

On peut aussi démontrer que le rayon de courbure est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

Il est alors facile de trouver le centre du cercle osculateur passant « au plus près » de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

Citation extraite de cet article de wikipedia

par **pmfontaine** » 19 Oct 2006, 09:10

Bonjour,
Merci C pi pour ton aide.
Je me permet d'insister pour aller jusqu'au boud de mon probléme, mais j'ai besoins de connaitre l'équation de la posision du centre du rayon de courbure.
Patrick

par **c pi** » 19 Oct 2006, 09:30

Bonjour

Dans quel cas : spirale d'Archimède ou spirale logarithmique ?
A partir de ton équation polaire ou de celle de Quidam ?

En attendant d'en savoir plus, d'un point de vue général,
le lieu des centres de courbure d'une courbe est la "développée" de cette courbe.

Sur cette page tu trouveras des informations à ce sujet, notamment l'équation de la développée d'une spirale logarithmique dans le tableau en fin d'article.

par **pmfontaine** » 19 Oct 2006, 14:06

Complément à mon post de ce matin.
J'ai cherche sur le net avec : "centre du cercle osculateur spirale d'Archimède"
Mais je ne trouve rien et dans mon cas il s'agit bien d'une spirale d'Archimède et pas logarithmique.
Patrick

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