Equation de Tricomi

[Bill BM]

Bjr.
Je veux résoudre le problème de Tricomi suivant y ;)²u/;)x²+;)²u/;)y²=0.
Dans le cas où y<0, j’ai utilisé les courbes caractéristiques d’équations : X=x+2/3 ;)(-y);)^(3/2) et
Y= x+2/3 ;)(-y);)^(3/2) , puis opéré le changement de variable pour tomber sur
6(X-Y) (;)^2 u)/;)X;)Y+(;)u/;)Y-;)u/;)X) , puis sur 3r((;)^2 u)/(;)t^2 )-(;)^2 u)/(;)r^2 ))-;)u/;)r=0 en posant r=X-Y et t=X+Y.
Je ne sais plus continuer.
SVP.

[MacManus]

Bonjour,

les équations caractéristiques sont les suivantes (dans le cas hyperbolique i.e: y<0) :
a(x,y) = x + (2/3)(-y)^(3/2)
b(x,y) = x - (2/3)(-y)^(3/2)

Tu peux calculer les dérivées partielles premières et secondes de a et b (notées en vert ci-dessous), puis les introduire dans le changement de variable suivant:

²u/;)y² =

(;)²u/;)a²).(;)a/;)y)² + 2(;)²u/;)a;)b).(;)a/;)y).(;)b/;)y) + (;)²u/;)b²).(;)b/;)y)² + (;)u/;)a).(;)²a/;)y²) + (;)u/;)b).
(;)²b/;)y²)


²u/;)x² =

(;)²u/;)a²).(;)a/;)x)² + 2(;)²u/;)a;)b).(;)a/;)x).(;)b/;)x) + (;)²u/;)b²).(;)b/;)x)² + (;)u/;)a).(;)²a/;)x²) + (;)u/;)b).
(;)²b/;)x²)

Puis tu réécris à nouveau ton équation: ²u/;)y² + y.²u/;)x² = 0

[Bill BM]

Pardon, mon message n'est peut-être pas bien lisible. Jai déjà fais tout ça. Après un deuxième changement de variable, j'obtiens une forme canonique (la dernière équation de mon post) que je ne sais pas résoudre. C'est ça mon problème:

Code: Tout sélectionner

3r((;)^2 u)/(;)t^2 )-(;)^2 u)/(;)r^2 ))-;)u/;)r=0