Equation surprenante..

[jeje_42]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un connaitrait la forme des solutions pour les équations du type :

ax + by + cxy = k,

ou x et y sont les inconnues, a,b,c, k des entiers naturels fixés ?

En particulier, existe-t-il des k tels que l'équation ci-dessus n'admette aucun couple (x,y)

solution ?

Merci par avance !! :++:

Jérôme

[SergeM]

Déjà clairement si a=b=c=0 et k=/=0 ton équation n'admet pas de solution.

Si a=b=c=k=0 tout le plan est solution.

Si a=0 et k=0 alors x=b/c et y est quelquonque (donc droite) pareil si b=k=0

Plus généralement ce sont des coniques particulières (avec les coéficients en x² et y² =0) mais je complique peut-être un peu le problême.

[jeje_42]

Des coniques ? :hein: Je n'y avais pas pensé..
Crois-tu qu'il est possible d'isoler les valeurs de k telles que l'équation n'admette aucune solution (en fonction des paramètres a,b, c) ?
Et est-il possible de réécrire cette équation sous forme de plusieurs équations de degré 2 ?

Jé

[yos]

Bonjour.
Et x,y tu les cherches dans quoi?
si c'est dans R, tu peux diviser par c (c=0 est sans intérêt). et tu es ramené à ex+fy+xy=m ou encore (x+f)(y+e)=m-ef. Donc c'est presque toujours une hyperbole.

[jeje_42]

Je cherche x et y dans N :happy2:
Qqun a une idée ?

Jé

[yos]

Cas par cas je pense : faire des factorisations partielles et discuter.
Si par exemple a,b,c sont pairs et k impair, il n'y a pas de solution.

[Zweig]

Si est différent de 0 alors l'équation se réécrit :



Comme , , et sont donnés, alors on peut décomposer l'entier en produits de facteurs premiers et on résout sans peine cette équation dans (et même dans ).

Si , alors on se ramène au théorème de Bézout.

[SergeM]

Si tu veut chercher tes solutions sous l'angle "conique" (mais c'est adapté pour chercher des solution dans RxR surtout) tu verifie si ton ensemble de solution a un centre O=(i,j) c'est à dire existe-il i et j tels que si je fait les changement de variable X=x-i Y=y-j alors (X,Y) dans S <=>(-X,-Y) dans S.
Tu constate que ce n'est pas le cas sauf si a=b=0 donc ta conique n'a pas de centre donc c'est une hyperbole.

Mais bon c'est un peu alambiqué sutout si tu cherche des solution dans ZxZ en fait.