Équation sur les complexes

[Georges10]

Bonjour à tous.

Svp il y'a quelque qui me tracasse dans cet exercice.
Soit (E) : Z⁴ - 5Z³ +6Z² -5Z + 1 = 0
1/ Demontrer que l'équation (E) est équivalente au système : { u = Z + 1/Z , u^2 -5u + 4 = 0 }

Voilà ce que j'ai fait : J'ai mis Z^2 en facteur et j'ai obtenu Z^2 ( Z^2 -5Z + 6 - 5/Z + 1/Z^2 ) = 0.

Ma question est la suivante : après avoir mis Z^2 en facteur, comment savoir que c'est en posant u = Z + 1/Z dans cette expression ( Z^2 -5Z + 6 - 5/Z + 1/Z^2 ) = 0 que je pourrai résoudre plus facilement l'équation ?

Merci d'avance !

[pascal16]

petit détail :
Z=0 n'est pas solution
donc les solutions en Z sont non nulles, donc tu peux écrire des "1/Z" et être équivalent.

u^2 -5u + 4 = 0
a pour solutions ....

donc u = ... ou ...

or u = Z + 1/Z
(un peu de calcul encore ou de la réflexion)
donc Z=... ou ... ou ... ou ...

[Georges10]

Merci pour ta réponse.

Ok je vois. Je demande cela parce que rien n'empêchait se poser ( par exemple) u = 3Z + 1/Z,
Selon moi, je pense qu'en plus que 0 n'annule pas l'équation, ils savaient le résultat de ce changement de variable à l'avance.
Je peux résoudre la suite. Il est évident que 1 annule l'équation en u, donc à-partir de là, je peux continuer.

[Black Jack]

Salut :

Z = 0 n'est pas solution ... et donc on peut diviser les 2 membres de l'équation par Z²,

Z² - 5Z + 6 - 5/Z + 1/Z² = 0

Z² + 1/Z² - 5(Z + 1/Z) + 6 = 0 (1)

Si u = Z + 1/Z (2) , alors u² = Z² + 1/Z² + 2
Donc Z² + 1/Z² = u²-2 (2)

(2) et (3) remis dans (1): : .........
****************

Comment savoir qu'on peut poser u = Z + 1/Z ?

Cela marche car les coefficients des différentes puissances en Z sont palindromes, c'est à dire que la lecture des coefficients de gauche à droite est la même que la lecture de droite à gauche.

Ici :

Si on range dans l'ordre les coeff des puissances de Z de Z⁴ - 5Z³ +6Z² -5Z + 1 = 0 , on trouve : 1 ; -5 ; 6 ; -5 ; 1
La lecture de gauche à droite est la même que la lecture de droite à gauche ...

C'est OK alors pour résoudre en posant u = Z + 1/Z

[capitaine nuggets]

Salut !

Il s'agit d'un type d'équation particulier : c'est ce que l'on appelle une équations réciproques du quatrième degré, c'est-à-dire de la forme , avec et deux réels (remarque les positions symétriques des coefficients : ).

En général, on demande de vérifier que , n'est pas solution de cette équation.

Ensuite, on vérifie que si l'on suppose solution de cette équation alors est aussi solution. Il suffit pour cela de remarquer que :



On pose alors et on montre que résoudre revient à résoudre (il suffit de diviser par )

[Georges10]

Merci énormément pour vos réponses, je comprend bien maintenant.
Merci et bonne soirée !