Equation réduite d'une conique (parabole sur ce sujet).

[Julien9]

Salut à tous!
Voici l'équation d'une conique:
x²-2xy+y²+2x-2y+2=0
J'aimerais que vous me dites si ma réponse est correcte, j'ai scanné mon brouillon pour éviter de tout tapper.

Merci à tous!



Ce qui m'intrigue c'est que les X se s'implifient à la fin, dans d'autres exercices fait avec le prof c'était pas comme ça..

[Skullkid]

Salut, je ne connais pas le sens de tes notations (A, B, C et lambda) mais le résultat final me semble cohérent : tu obtiens l'ensemble vide, ce qui dans ce cas particulier pouvait assez facilement se voir en remarquant que l'équation de départ n'est jamais que (x-y)² + 2(x-y) + 2 = 0.

[Julien9]

Enfait c'est la méthode que j'ai appris en cours, l'équation est de la forme:
Ax²+2Bxy+Cy²+..+..+...
Le discriminant étant
B²-A.C.
Si il est égal à zéro comme ici c'est une parabole.

Ensuite je cherche à éliminer le terme en XY par une rotation, du coup je cherche l'angle.

Donc c'est correct ce que j'ai fait? J'en serais content!

[Skullkid]

Oui ça m'a l'air bon. Le fait que les X n'apparaissent pas indique que ta conique est dégénérée (elle est même sacrément dégénérée puisqu'elle est vide), ça aurait aussi été le cas si elle avait été réduite à deux droites parallèles (x² - 2xy + y² - x + y - 2 = 0, par exemple).

[Julien9]

Cool! Merci beaucoup de ta réponse tu me rassures sur mon travail.
Une parabole peut être dégénérée? Je pensais que c'était que les coniques à centre.

Par rapport à mes notations et au discriminant sur la page wikipédia ils utilisent les mêmes si tu veux voir: http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique

Si jamais tu as encore une petite minute, voici une autre conique que j'ai traitée, j'obtiens le même genre de résultat, tu penses que c'est correct?
l'équation c'est: x²-2xy+y²-x+y-2=0


Merci!

[Skullkid]

Marrant, c'est celle que j'ai donné dans mon post précédent. Ce que tu as fait est correct, la conique est aussi dégénérée : c'est l'union de deux droites parallèles.

Personnellement j'appelle "conique dégénérée" tout ensemble plan décrit par une équation de degré 2, mais qui n'est ni une ellipse, ni une parabole, ni une hyperbole (c'est-à-dire le vide, un point, une droite, deux droites parallèles, deux droites sécantes). Apparemment l'article wiki n'a pas la même définition... Quoiqu'il en soit, au lieu de dire "c'est une parabole", dis plutôt quelque chose comme "c'est une courbe de genre parabole". Parce que deux droites parallèles c'est pas vraiment une parabole...

[Julien9]

Oui c'est vrai j'ai pas mal abrégé :we: , merci d'avoir lu et d'avoir répondu!

Comment tu sais en voyant simplement l'équation que c'est l'union de deux droites parallèles?

[Skullkid]

En voyant l'équation de départ, je ne le sais pas (enfin dans ce cas-là précisément je le savais puisque pour te sortir cette équation j'ai fait exprès de multiplier deux équations de droites...), par contre avec ton équation finale c'est pas très dur à voir : u est une combinaison linéaire de x et y, qui vaut soit 3/2 soit -3/2.

[Julien9]

Ah d'accord, je pensais que tu le voyais direct je me disais bien que c'était pas si facile :we:

Merci!

[alavacommejetepousse]

Marrant, c'est celle que j'ai donné dans mon post précédent. Ce que tu as fait est correct, la conique est aussi dégénérée : c'est l'union de deux droites parallèles.

Personnellement j'appelle "conique dégénérée" tout ensemble plan décrit par une équation de degré 2, mais qui n'est ni une ellipse, ni une parabole, ni une hyperbole (c'est-à-dire le vide, un point, une droite, deux droites parallèles, deux droites sécantes). Apparemment l'article wiki n'a pas la même définition... Quoiqu'il en soit, au lieu de dire "c'est une parabole", dis plutôt quelque chose comme "c'est une courbe de genre parabole". Parce que deux droites parallèles c'est pas vraiment une parabole...

bonsoir

suis d accord avec ta définition de dégénérée il se trouve que suivant l'une ou l'autre des définitions des coniques (équivalentes ds le cas où elles ne sont pas dégénérées) on ne trouve pas les mêmes cas de dégénérescence