Equation que je n'arrive pas à résoudre

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everial
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Equation que je n'arrive pas à résoudre

par everial » 09 Nov 2021, 19:31

Bonjour,

Lors de mon cours de fixed income & derivatives, j'ai eu cette slide où je n'arrive pas à résoudre l'équation pour arriver au résultat de y = 6,76% :

3e^(-y/2) + 3e^(-y) + 3e^(-y*1.5) + 103e^(-y*2) = 98,39.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider en me montrant comme la résoudre s'il vous plaît ?
Merci beaucoup



lyceen95
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Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par lyceen95 » 09 Nov 2021, 19:48

Une première étape, c'est de faire un changement de variable.
Soit x= exp(-y/2)
Ou encore ( un peu moins efficace) : Soit x = exp(-y).

Avec la première proposition, on arrive à une équation polynomiale ( Un polynome à résoudre).
C'est plus classique comme type d'exercice.
Mais on arrive à un polynôme de degré 4. Et sauf astuce à peu près introuvable, il n'existe pas de recette magique à dérouler pour trouver la solution.
Les matheux ne savent pas résoudre ce genre d'équations.
Mais les matheux ont des calculatrices, il savent tâtonner, il savent procéder par encadrements successifs, pour finalement arriver à la réponse que tu donnes.
Ici, je ne connais pas 'fixed income & iteratives' . Mais le mot iterative me fait fortement penser à des calculs 'itératifs', des encadrements successifs.

Comment ça marche. Ici ta fonction est décroissante : quand y augmente, le résultat de ta formule compliquée diminue.
Donc, par une succession de tests, on arrive forcément à une très bonne estimation du résultat :
y=0 : trop haut
y= 10% : trop bas
y=5% : trop haut etc etc etc Jusqu'à avoir une précision suffisante.

Ici, je coupe en 2 à chaque fois. Il y a des techniques pour viser un peu mieux, et arriver plus vite au résultat.

Black Jack

Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par Black Jack » 09 Nov 2021, 20:08

Bonjour,

Poser e^(-y/2) = u --> u > 0

L'équation devient : 3u + 3u² + 3u³ + 103.u^4 = 98,39 (résoudre par exemple par la méthode de Ferraris)

Dont la seule solution réelle positive est u = ...

et on en déduit ensuite y par e^(-y/2) = u

8-)

Edit : Pas vu le massage de lyceen95 avant d'envoyer le mien.

everial
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Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par everial » 09 Nov 2021, 23:11

Je vous remercie pour vos réponses mais je ne comprends pas les étapes pour arriver au résultat

Black Jack

Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par Black Jack » 10 Nov 2021, 12:15

everial a écrit:Je vous remercie pour vos réponses mais je ne comprends pas les étapes pour arriver au résultat


Bonjour,

C'est quand même assez évident, me semble-t-il

On fait le changement de variable : e^(-y/2) = u --> u > 0

L'équation devient : 3u + 3u² + 3u³ + 103.u^4 = 98,39

On résout cette équation ...
Soit analytiquement (par exemple par la méthode de Ferraris), soit en étudiant les variations de la fonction et en calculant par approximations successives la valeur de u positive qui satisfait l'équation (cela c'est du niveau secondaire) ou autrement si on veut ...

Et en remettant la valeur trouvée de u dans e^(-y/2) = u ... on peut calculer facilement la valeur de y correspondante.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas là dedans ?

8-)

everial
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Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par everial » 10 Nov 2021, 18:08

Merci pour ta réponse.

Je suis désolé mais n'étant pas très doué en maths, je ne sais pas résoudre analytiquement ça, je vois ce que l'équation devient en : 3u + 3u² + 3u³ + 103.u^4 = 98,39
Mais en partant de cette base je n'arrive pas à arriver au y = 6,76% du départ

lyceen95
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Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par lyceen95 » 10 Nov 2021, 18:48

Méthode de Ferrari, ça ne me parle pas non plus.
Bon, je pourrais faire quelques recherches.

Ici, c'est un exercice scolaire. Tu as forcément eu un cours. Et il faut utiliser les méthodes vues en cours, et pas d'autres.
Si tu as appris Ferrari, il faut l'utiliser.
J'avais vaguement expliqué une méthode, par "itérations" . Je sais que ça marche, je sais que je saurais trouver une solution, et il y a même 2 méthodes assez ressemblantes qui fonctionnent. Mais je ne sais pas si c'est la solution attendue par ton prof.
Ton cours est un domaine très précis 'fixed incomes & derivatives', probablement plus connu des financiers que des matheux . Je viens de faire une vague recherche internet, et je ne trouve rien d'évident qui collerait à ton cours.

Soit tu fais un copier/coller de ton cours, pour qu'on sache un peu ce qui est attendu, soit ... mystère.

Black Jack

Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par Black Jack » 10 Nov 2021, 21:19

Bonjour,

Pour info ... à celui que cela intéresse.

La méthode de Ferrari(s) n'est pas connue au Secondaire ... mais ici, c'est posté en "Supérieur", et donc je ne sais pas si une résolution analytique est au non attendue.

Si oui, alors voila une aide :

Résolution des équations du quatrième degré selon FERRARI.

Soit à trouver les solutions de l'équation:

On divise par a et on pose On est alors ramené à une équation de la forme:

Si on a B = 0, on est en présence du équation bicarrée que l'on résout en posant X² = t.
Si , alors:
On cherche les racines de l'équation:

Avec une des valeurs de u trouvée, on calcule:
On résout les équations du second degré:
(5)
et
(6)
Les valeurs réelles trouvées pour X soit dans (5) soit dans (6) replacées dans (1) donnent des valeurs réelles de x solutions de l'équation de départ.
-----------------------------------------------------
Un exemple:
Soit à trouver les solutions de l'équation:

Poser



(1)
Après simplification:
On a , et

Dont les solutions réelles sont u = -16,125 ; u : -14,125 ; u = 13,875.
On prend par exemple u = -16,125.
et on calcule alors:
On résout l' équation du second degré:
(5)

dont les solutions sont: X = 2,25 et X = -1,75.

On résout l' équation du second degré:
(6)

dont les solutions sont: X = -3,75 et X = 3,25.

On a alors:





Les solutions de l'équation sont donc x = -5, x = -3, x = 1 et x = 2.
-------------------------------------------------------

Chamfort
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Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par Chamfort » 11 Nov 2021, 10:01

Bonjour
si l'on fait


il apparait la racine-1,-i,i,? racine à trouver après mise en facteur.

Black Jack

Re: Equation que je n'arrive pas à résoudre

par Black Jack » 11 Nov 2021, 17:45

Chamfort a écrit:Bonjour
si l'on fait


il apparait la racine-1,-i,i,? racine à trouver après mise en facteur.


Bonjour,

Oui mais pourquoi changer le calcul et pas prendre celui proposé ?

Calcul facile ... mais ne correspondant pas à l'énoncé...

8-)

 

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