équation pour application optique

[florianguyard]

Bonjour,

premièrement je tiens à m'excuser si ce post n'est pas à sa place, je l'ai placé dans "supérieur" en pensant avoir plus de chance qu'on y trouve solution. Je ne suis pas spécialement bon en Maths et plus dans le cursus scolaire, c'est pour cela que j'ai besoin de votre aide.

Voilà, j'ai ça :

D=450 et f=50 x et x' sont inconnus ainsi que g.

D = x + x' + 2f sachant que f au carré=xx' et x=f/g et x'=fg

par tâtonnements j'obtiens :

D = 2f + fg + f/g = 2f + fg + f(1/g)

Et donc (D - 2f)/f = g + 1/g donc [450 - (2X50)]/50 = 7 = g + 1/g

Par tâtonnements et avec ma calculatrice j'ai cherché pendant 20 minutes et je suis arrivé aux résultats suivants : g = 6,854101967 et x = f/g = 7,294901687 et x' = fg = 342,705984

Mais je ne sais pas le faire par le calcul !!! :-(

Donc en sachant que D = x + x' + 2f sachant que f au carré=xx' et x=f/g et x'=fg
en ayant D et f de connues, comment je fait pour trouver g ? Qui me permet par la suite de connaître x et x' ...
Voilà comment fait-on ? J'imagine qu'on doit parler d'équations avec un certain degré, et en plus il faut savoir mettre en relation D=x+x'+2f AVEC f au carré=xx' Ce que je ne sais pas faire.


Tout à fait en aparté, il s'agit d'optique. D est la distance de mise au point (entre le plan film et l'objet), x l'allongement objet et x' l'allongement image. f est la focale de l'objectif. et g c'est le grandissement. donc D=x+x'+2f. et Newton nous dit : f au carré=xx'


D'avance un grand merci ! :-)

[Matt_01]

Salut,

On peut connaitre les valeurs de x,x' en connaissant leur somme et leur produit :
x+x'=D-2f et xx'=f² :
x et x' sont les solutions de X²-(D-2f)X+f² = 0
Par contre, ensuite, x et x' jouent des rôles symétriques donc sans condition supplémentaire (du style x>x' etc ...) on ne peut les distinguer. On reconnait aussi la symétrie par le fait que dans l'équation en g que tu as toi même résolu, à une solution g on peut déduire une autre solution qui est 1/g (d'ailleurs cette équation suffit à resoudre le problème : en multipliant par g on obtient une equation du second degré).
(Pour trouver g on n'a plus qu'à faire (x'/x)^(1/2))

[florianguyard]

Salut,

On peut connaitre les valeurs de x,x' en connaissant leur somme et leur produit :
x+x'=D-2f et xx'=f² :
x et x' sont les solutions de X²-(D-2f)X+f² = 0
Par contre, ensuite, x et x' jouent des rôles symétriques donc sans condition supplémentaire (du style x>x' etc ...) on ne peut les distinguer. On reconnait aussi la symétrie par le fait que dans l'équation en g que tu as toi même résolu, à une solution g on peut déduire une autre solution qui est 1/g (d'ailleurs cette équation suffit à resoudre le problème : en multipliant par g on obtient une equation du second degré).
(Pour trouver g on n'a plus qu'à faire (x'/x)^(1/2))

Merci mais je ne comprends pas comment obtenir g ou x ou x' à partir de X²-(D-2f)X+f² = 0

Peux-tu m'en faire le démonstration ?

[Matt_01]

Sais tu calculer les solutions d'une équation du second degré ? (ici X²-(D-2f)X+f²=0)
Si oui, tu as juste à calculer les deux racines et dire que l'une est x, l'autre x'.
Si non, ca m'etonnerait vu qu'on fait cela avant de faire de l'optique je pense. Dans le pire des cas je te renvoie là : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9

[florianguyard]

Sais tu calculer les solutions d'une équation du second degré ? (ici X²-(D-2f)X+f²=0)
Si oui, tu as juste à calculer les deux racines et dire que l'une est x, l'autre x'.
Si non, ca m'etonnerait vu qu'on fait cela avant de faire de l'optique je pense. Dans le pire des cas je te renvoie là : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9

J'ai essayé mais je ne comprends rien du tout, les maths c'est un peu loin pour moi... Si tu pouvais me faire la démonstration ça me permettrait d'avoir un modèle, et les prochaines fois je n'aurai plus qu'à remplacer les termes... Pour pouvoir résoudre mon problème j'ai juste besoin d'un modèle, après je l'applique à volonté. Et si c'est pas plus compliqué de trouver g plutôt que x et x', ça m'intéresse, car en ayant le grandissement g, j'ai un terme plus important dans l'ensemble du calcul de profondeur de champ.

Désolé de t'embêter et d'insister mais c'est un calcul qui me sera très utile ! Et encore merci !!