Equation de Pell

[melreg]

Voilà la donnée du problème :

Soit D>0 un entier qui n'est pas un carré parfait. Montrer que a une infinité de solutions entières.

J'ai déjà résolu le problème dans le cas où D est sans facteur carré. Reste donc la question pour où K est un entier et D est sans facteur carré. Ca paraît bizarre, mais je n'ai pas réussi à me ramener au cas précédent :hein:

Si jamais, pour le cas où D est sans facteur carré, je m'appuie sur le théorème des unités qui nous dit qu'"il existe dans un inversible tel que tout inversible de s'écrit de manière unique " où si et si ."

J'espère que je ne vous dégoûte pas trop...et merci d'avance!

[ThSQ]

Pourquoi ça nous dégouterait ?


Pourquoi ne pas écrire X² - K²D'Y = 1, X² - D'(KY)² = 1 ?

[yos]

Bonjour.
Pas évident en effet. Déjà, dans le cas où l'anneau des entiers est , l'unité fondamentale ne fournit pas directement des solutions à ton équation : les puissances de sont pas forcément de la forme avec a et b entiers. Tu as fait comment?
Il me semblait que le théorème des unités ne permettait pas directement de prouver l'existence de solution non triviales à l'équation de Pell et que le recours aux fractions continues ou à un peu d'approximation diophantienne était indispensable. Je peux me tromper, il, faudrait que je regarde dans un bouquin.

[ThSQ]

Déjà c'est facile de voir que si l'équation a une solution, il y en a une infinité : si (x,y) est solution, (x²+Dy²,2xy) est aussi solution ou tous les xn,yn tels que xn + \sqr{D}yn = (x + \sqrt{D}y)^n (**).

Si tu as montré que X² - D'Y² a une infinité de solutions il suffit de montrer qu'il y en a une telle que Y est divisible par K (D' différent de 1), ce qui se fait en utilisant la relation de récurrence (**)

[melreg]

Merci ThSQ... J'ai compris ton argumentation sauf la relation de récurrence (**) : si (x,y) est solution je suis d'accord que (x²+Dy²,2xy) est aussi solution, mais je ne vois pas pourquoi les (xn,yn) tels que le seraient aussi ?
Sinon, yos, on peut montrer que est de la forme ...