Equation linéaire, 3 inconnues, 1 facteur

[RoMz34]

Bonjour,

dans un DM sur les matrices je suis confronté à un système sur lequel je sèche totalement.

Voici le système :

4.a + b + 2.c = a.lambda
-15.a - 4.b - 10.c = b.lambda
3.a + b + 3.c = c.lambda

Lambda est le facteur et a, b et c sont les inconnues.

J'ai tenter de faire une pivot de Gauss (en passant tout à droite) mais j'obtient un résultat assez horrible (avec un polynome de degré 4 en facteur de c, des puissance de 3 etc.).
Je voudrais tenter par substitution, mais je ne vois pas comment m'y prendre.
Ce qui me pose réellement problème c'est que le facteur soit multiplier par des variables ...

Peut-être qu'un petit indice pour me mettre sur la voie pourrait débloquer mon problème ? ^^. Merci.

[acoustica]

Bonjour,

dans un DM sur les matrices je suis confronté à un système sur lequel je sèche totalement.

Voici le système :

4.a + b + 2.c = a.lambda
-15.a - 4.b - 10.c = b.lambda
3.a + b + 3.c = c.lambda

Lambda est le facteur et a, b et c sont les inconnues.

J'ai tenter de faire une pivot de Gauss (en passant tout à droite) mais j'obtient un résultat assez horrible (avec un polynome de degré 4 en facteur de c, des puissance de 3 etc.).
Je voudrais tenter par substitution, mais je ne vois pas comment m'y prendre.
Ce qui me pose réellement problème c'est que le facteur soit multiplier par des variables ...

Peut-être qu'un petit indice pour me mettre sur la voie pourrait débloquer mon problème ? ^^. Merci.

Je ne vois pas bien comment tu as pu avoir un polynôme dans un tel exercice.
Je propose un truc : ton problème s'écrit:
AX=lamba*Id*X

où X=a,b,c en colonne. Ensuite tu peux te ramener un système comme on le fait d'habitude.
(Mais normalement ça marche avec les substitutions et tout.... c'est pareil en fait.)

[acoustica]

Bonjour,

dans un DM sur les matrices je suis confronté à un système sur lequel je sèche totalement.

Voici le système :

4.a + b + 2.c = a.lambda
-15.a - 4.b - 10.c = b.lambda
3.a + b + 3.c = c.lambda

Lambda est le facteur et a, b et c sont les inconnues.

J'ai tenter de faire une pivot de Gauss (en passant tout à droite) mais j'obtient un résultat assez horrible (avec un polynome de degré 4 en facteur de c, des puissance de 3 etc.).
Je voudrais tenter par substitution, mais je ne vois pas comment m'y prendre.
Ce qui me pose réellement problème c'est que le facteur soit multiplier par des variables ...

Peut-être qu'un petit indice pour me mettre sur la voie pourrait débloquer mon problème ? ^^. Merci.

Je dirais déjà que le système se réécrit sous forme matricielle : (avec lamda=m)

4-m[COLOR=White]....[/COLOR]1.......2..........a......0
-15...-4-m..-10....*...b..=..0
3........1......3-m.......c......0

et que la dimension de l'ensemble des solutions dépend du rang de la matrice ainsi obtenue.
J'espère ne pas dire de bêtises, mais perso je calculerais le polynôme caractéristique et je regarderais ensuite le rang de chacune des matrices obtenues en remplaçant lambda par les valeurs propres trouvées.
Si lambda n'est pas valeur propre, (0,0,0) est la seule solution.
Si lambda est valeur propre, on les teste toutes et on résout les systèmes obtenus.

[RoMz34]

ok,

donc, la tu as remplacé les lambda par m et tu as tout passé à droite.
Par contre, pourquoi tu multiplie par a, b, et c ? je ne doit pas faire un produit de matrice mais résoudre le système (en fonction de lambda, donc étudier tout les cas).

Parce que j'obtient :

(4-m). a + b + c = 0
- 15.a + (-4-m).b - 10.c = 0
3.a + b + (3-m).c = 0


Mais ça n'aide pas à la résolution ... :/

[acoustica]

ok,

donc, la tu as remplacé les lambda par m et tu as tout passé à droite.
Par contre, pourquoi tu multiplie par a, b, et c ? je ne doit pas faire un produit de matrice mais résoudre le système (en fonction de lambda, donc étudier tout les cas).

Parce que j'obtient :

(4-m). a + b + c = 0
- 15.a + (-4-m).b - 10.c = 0
3.a + b + (3-m).c = 0


Mais ça n'aide pas à la résolution ... :/

Oui, mais ça revient à résoudre AX=0 du point de vue matriciel.

Quand tu calcules le déterminant de la matrice obtenue, tu regardes pour quelles valeurs de lambda le déterminant s'annule. Le polynôme obtenu, en lamdba, s'appelle le polynôme caractéristique, mais ça n'a pas d'importance. Ce qui est important, c'est de savoir quand il s'annule. Parce que quand il s'annule, ça veut dire qu'on a d'autres solutions que (0,0,0). Alors on teste chacune des valeurs obtenues qui annule le polynôme, et on résout les déifférents systèmes un par un, en remplaçant lambda par les valeurs ainsi obtenues.

Par exemple, m=1 est une solution "évidente" pour annuler le déterminant de la matrice. Ca veut dire là qu'on a avoir trop d'inconnues par rapport au nombre d'équations, c'est-à-dire une certaine liberté de mouvement. On voit, pour m=1, qu'on a deux fois l'équation 3a+b+2c=0. L'une des deux est inutile, d'où ce trop petit nombre d'équations. Pour voir précisément quelle liberté de mouvement on a, il faut résoudre le système. On aura des espaces vectoriels comme solution.

C'est sans filet ce que je dis, j'espère que ça t'aidera^^.

[RoMz34]

Oui, mais ça revient à résoudre AX=0 du point de vue matriciel.

Quand tu calcules le déterminant de la matrice obtenue (le polynôme caractéristique en lamdba, mais tu n'as peut-être pas vu ça), tu regardes pour quelles valeurs de lambda le déterminant s'annule. Puis tu testes chacune des valeurs obtenues. C'est sans filet ce que je dis, j'espère que ça t'aidera^^.

Je crois que je commence à saisir le truc. C'est vrai que si l'on développe ce que tu as mis, on obtient bien la même chose.
Il faudrait que je tente de poser l'equation sous forme matricielle (on à vue une telle écriture, mais j'ai encore un peu de mal avec ça). Peut-être que je verrais mieux en quoi cela pourrais m'aider.
Après, ça laisse place pas mal de possibilité pour trouver la matrice nulle quand même (a, b et c = 0 etc.)

Merci pour cette petite astuce. Je vais voir si je peut trouver quelque chose mais je suis toujours ouvert à d'autres idées .

[acoustica]

Je crois que je commence à saisir le truc. C'est vrai que si l'on développe ce que tu as mis, on obtient bien la même chose.
Il faudrait que je tente de poser l'equation sous forme matricielle (on à vue une telle écriture, mais j'ai encore un peu de mal avec ça). Peut-être que je verrais mieux en quoi cela pourrais m'aider.
Après, ça laisse place pas mal de possibilité pour trouver la matrice nulle quand même (a, b et c = 0 etc.)

Merci pour cette petite astuce. Je vais voir si je peut trouver quelque chose mais je suis toujours ouvert à d'autres idées .

D'acc, bon courage. =) J'ai rajouté des trucs dans mes posts précédants au fait.

[RoMz34]

Merci pour ces précisions.
Il faut donc tout de même résoudre le système, car même s'il semble évident qu'a part pour m = 1, ou on aura les solutions {((-b - 2c)/3, b, c) avec b, c appartenant à R}
on aura pour tout m différent de 1 la solution {(0,0,0)} ...

Ca je le voit, je le comprend, mais je ne sais pas le démontrer (il faut résoudre le système, et je suis un peu bloqué :/)


EDIT : nous n'avons pas vu la notion de déterminant qui semble être l'élement clé de votre raisonnement. Je pense qu'il s'agit de résoudre le système par substitution. Je vais continuer mes recherches. Merci.

[RoMz34]

J'ai voulu tenter la suite du DM mais apparemment cette réponse est importante pour la suite. Voici l'énoncé :

Problème : D'après Concours National Marocain 2010

On considère les 3 suites , et définies par :

et pour tout





On note pour tout n appartenant à |N, Xn (en colonne et non pas en ligne) -->


1) Déterminer une matrice M appartenant à M_3 (|R) telle que pour tout n appertenant à |N,



Donc la, on trouve facilement que M c'est :

4.....-15.....3
1......-4......1
2.....-10.....3



2) Résoudre le système d'inconnue en fonction du paramètre


Donc c'est toujours à cette question que je bloque ...

3) Soit une solution de . Montrer que la suite définie par : est géométrique de raison lambda.

Donc il faut la 2 :/

[acoustica]

Merci pour ces précisions.
Il faut donc tout de même résoudre le système, car même s'il semble évident qu'a part pour m = 1, ou on aura les solutions {((-b - 2c)/3, b, c) avec b, c appartenant à R}
on aura pour tout m différent de 1 la solution {(0,0,0)} ...

Ca je le voit, je le comprend, mais je ne sais pas le démontrer (il faut résoudre le système, et je suis un peu bloqué :/)


EDIT : nous n'avons pas vu la notion de déterminant qui semble être l'élement clé de votre raisonnement. Je pense qu'il s'agit de résoudre le système par substitution. Je vais continuer mes recherches. Merci.

Ah bon, vous n'avez pas vu les déterminants ? Ok, alors effectivement, ça risque d'être plus difficile. Oui alors ça doit se faire par substitution. De toutes façons, Gauss c'est de la substitution, c'est pareil.

[acoustica]

J'ai voulu tenter la suite du DM mais apparemment cette réponse est importante pour la suite. Voici l'énoncé :

Problème : D'après Concours National Marocain 2010

On considère les 3 suites , et définies par :

et pour tout





On note pour tout n appartenant à |N, Xn (en colonne et non pas en ligne) -->


1) Déterminer une matrice M appartenant à M_3 (|R) telle que pour tout n appertenant à |N,



Donc la, on trouve facilement que M c'est :

4.....-15.....3
1......-4......1
2.....-10.....3



2) Résoudre le système d'inconnue en fonction du paramètre


Donc c'est toujours à cette question que je bloque ...

3) Soit une solution de . Montrer que la suite définie par : est géométrique de raison lambda.

Donc il faut la 2 :/

Oui, sauf que là visiblement, ce n'est pas pour des valeurs particulières de lamda. Faut le résoudre dans le cas général quoi... lamda est un nombre comme un autre, ce n'est pas une inconnue.

[RoMz34]

Pour la deux, j'ai une piste.

D'abord, on met tout à droite. Ensuite, on enleve le b de la 2 et 3ème ligne (en substituant la première).
On se rend compte qu'on peut tout factorisé par m - 1. On obtient deux cas :

m = 1, on à les solution donné plus haut ( -b - 2c / 3 , b, c)
pour m différent de 1, on à (a, a(m-5), a)

Je ne sais pas si vous trouvez les même résultat, ça semble tenir debout.

[RoMz34]

Donc pour la 2, a priori c'est bon.

Pour la 3, j'ai trouvé quelque chose dont je ne suis pas sur :




Voici l'énoncé des questions suivante :

4) Vérifier que et sont solution de (S1).

Pour cette question, aucune difficulté. On remplace le X de la 2 par V1 ou V2 et on retrouve V1 ou V2.



5) En déduire les expressions des termes généraux des deux suites et construites à partir de VA et V2 comme au 3)


j'y travaille ^^

[RoMz34]

Pour la question 5, je ne suis pas sur mais :

et idem avec 2 pour V2.

La question 6 est la suivante :

6) Donner l'expression des termes généraux de et en fonction de

Donc ça donnerait



Ce qui nous amène à la question 7)

7) En déduire l'expression de en fonction de n.

Je pense qu'il faut se servir du fait que l'on à une géométrique pour obtenir et de deux manière différentes. Ainsi en comparant on pourra peut être en déduire quelque chose.

je voudrais savoir si le raisonnement suivant est bon :

On est en présence d'une suite géométrique de raison lambda. Or, ici V1 et V2 sont solution de , autrement dit : lambda = 1.

On peut donc en déduire que pour tout n entier naturelle, on a

Mes résultats précédents sont-ils bon ?


EDIT : J'ai réussit à déterminer que et que
ce qui après vérification semble vrai et pourrais vérifier mon résultat à la 6. Mais ça n'a pas l'air d'aider pour la 7 ...


EDIT 2 : en recopiant la 2, je me suis rendu compte d'une erreur.
Si m =/= 1 on a alors, (0,0,0).

Si m = 1 on a (-b - 2c / 3 , b, c).

[RoMz34]

Bon et bien, j'ai finit. les résultats semble correspondre. J'aurais aimer une petite confirmation tout de même ^^.