Equation fonctionnelle

par **dilzydils** » 25 Déc 2005, 18:19

Bonjour

Je dois déterminer l'ensemble des fonctions continues de R ds R telles que
Pr ts réel x et y, f(xy)=f(x)+f(y).
ca sent ln..
J'arrive à montrer que f(1)=0 et que pr tt entier p f(x^p)=pf(x) mais ce sont la que 2 pptés de ln qui ne permettent pas de conclure que c'est de la forme k*ln.
Cmt le montrer rigoureusement?

Merci

par **dilzydils** » 25 Déc 2005, 18:21

oups.. erreur d'enoncé: Pr tt couple (x,y) de R+*, f(xy)=...

par **hans** » 26 Déc 2005, 19:55

faut que tarrives à montrer f(x^(p/q))=p/q f(x) et par continuité et densité de Q tu pourras arriver à f(x)=f(e)*lnx

par **Pythales** » 26 Déc 2005, 22:32

En dérivant par rapport à x : y f'(xy)=f'(x)
et par rapport à y : x f'(xy)=f'(y)
soit f(xy)=f'(x)/y=f'(y)/x ou encore x f'(x)=y f'(y)
Le 1er membre ne dépend que de x, le second que de y. Ils ne peuvent être égaux qu'à une constante, soit : x f'(x)=C ou f'(x)=C/x.
A toi de conclure.

par **hans** » 26 Déc 2005, 22:53

Il faudrait que la fonction soit dérivable.

par **dilzydils** » 27 Déc 2005, 14:31

La fonction n'est pas supposée dérivable.

Je reviens à la reponse de hans:

j'arrive à prouver que pr tt rationnel r f(x^r)=rf(x) mais je ne vois pas cmt arriver à f(r)=f(e)ln(r) pour en déduire ensuite par densité et continuité le resultat..

par **hans** » 27 Déc 2005, 15:34

on a montré f(e^r)=rf(e) or soit x appartenant à R, x est limite d'une suite de rationnels donc par continuité de f, f(e^x)=x*f(e) puis en posant y=e^x
f(y)=f(e)*ln y

par **Anonyme** » 12 Fév 2006, 18:11

Waw, impressionnant hans.

comment as-tu pensé à f(e)?? analogie avec f(1) pour les fonctions continues vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y)?
at y'aurait-il 1 lien quelconque avec le fait que f soit 1 morphisme de groupes??

par **hans** » 12 Fév 2006, 19:12

A vrai dire n'importe quel nombre différent de 1 peut faire l'affaire à la place de e.
Tu peux te ramener au cas f(x+y)=f(x)+f(y) en posant g(x)=f(e^x) car alors tu as bien la propriété.
Ces exercices sont assez classiques.

par **memphisto** » 13 Fév 2006, 06:18

bouhn a écrit:Waw, impressionnant hans.

comment as-tu pensé à f(e)?? analogie avec f(1) pour les fonctions continues vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y)?
at y'aurait-il 1 lien quelconque avec le fait que f soit 1 morphisme de groupes??

C'est tout à fait cela: les fonctions f qui vérifient la relation fonctionnelle demandée sont les fonctions logarithme, et ce sont justement celles qui transforment la structure de groupe additif de

, en la structure de groupe multiplicatif de

.
Leurs inverses sont les fonctions puissances (comme par exemple la fonction exponentielle, qui est la fonction puissance de base e), qui transforment la structure de groupe multiplicatif de

en la structure de groupe additif de

.

Pour être complet, mentionnons le fait suivant:
Exponentielle et Logarithme vont au restaurant. Qui paye l'addition?

par **memphisto** » 13 Fév 2006, 06:19

Ben exponentielle, car logarithme neperien ^^

par **yos** » 13 Fév 2006, 13:28

memphisto a écrit:Leurs inverses sont les fonctions puissances (comme par exemple la fonction exponentielle, qui est la fonction puissance de base e),

Un détail de vocabulaire

On dit fonction exponentielle de base a pour

.
Et fonction puissance d'exposant a pour

.

par **yos** » 13 Fév 2006, 13:29

memphisto a écrit:Ben exponentielle, car logarithme neperien ^^

Pas mal. Je la replacerai.

Equation fonctionnelle

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