Equation fonctionnelle matricielle

[ffpower]

Bonjour,

Déterminer les fonctions f:Mn(R)->Mn(R) telles que pour toutes matrices A et B:

f(A+B)=f(A)+f(B)
f(AB)=f(A)f(B)

Good luck!! :we:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Bon j'y réfléchis mais ça m'a pas l'air d'être du gâteau... Je ne sais même pas s'il y en a d'autres que l'identité.

[Doraki]

Y'a déjà les M -> P-1 M P où P est inversible quelconque.
Et M -> 0.

[ffpower]

oui,en effet,et c est ca les f solutions..

[ffpower]

Any ideas? :id:

[Nightmare]

Any ideas? :id:

Je ne l'ai pas oublié ne t'inquiète pas. En fait, je crois que je fais fausse route, j'essaye de résoudre ton exo en adaptant la preuve dans le cas où travaille sur R mais ça n'a pas l'air de marcher. Une autre idée serait justement de se ramener à R en composant par une forme linéaire mais je ne sais pas si ça aboutit, je vais essayer mais un indice serait le bienvenu

[ffpower]

Voici alors un exercice qui n a rien du tout a voir avec le précédent :we:
Si est une famille de matrice n*n vérifiant les relations , que peut on dire?

[Nightmare]

Voici alors un exercice qui n a rien du tout a voir avec le précédent :we:
Si est une famille de matrice n*n vérifiant les relations , que peut on dire?

Réponse naïve : Ce sont des matrices élémentaires.

[ffpower]

presque...

[ffpower]

Uuuup :we:
Concernant le sous exercice:

Si est une famille de matrice n*n vérifiant les relations , que peut on dire?

la réponse est que les sont soit toutes nulles,soit simultanément conjuguées aux matrices élémentaires .
Indication:(Commencer par regarder les M_{i,i})

Une fois ce sous exo fait,l exo initial n est pas tres dur.