Bjr,
a) Dans le cas général, les solutions d'une équation différentielle linéaire sans second membre forment un espace vectoriel.
b) Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre n, sans second membre, forment un e-v de dimension n, ce que l'on démontre en étudiant le Wronskien ou déterminant de Wronski de n solutions:
- ce déterminant est proportionnel à une fonction exponentielle.
Soit, il s'annule en un point et est identiquement nul.
Soit, il ne s'annule jamais.
le wronskien de (n+1) solutions est toujours identiquement nul.
Dans le cas d'une équation à coefficients constants, l'équation caractéristique avec n racines distinctes donne n solutions linéairement indépendantes.
c) Ensuite, l'ensemble des solutions de l'équation avec second membre est un espace affine , somme d'une solution particulière et de l'e.v des solutions du système homogène.
d) Enfin, on peut parfois résoudre l'équation dans le complexifié de l'ev des fonctions à valeurs réelles,ie, considérer des fonctions à valeurs complexes
et des coefficients dans
et en déduire des solutions réelles en conjuguant les coefficients des combinaisons linéaires, si la base
de l'e.v est formée de vecteurs conjugués.
exemple: base
et
donnent les solutions
)
et
)
.
