Equation différentielle

[nico2b]

Bonjour, voici l'énoncé :

Donnez toutes les solutions réelles de l'équation différentiell .

Donc voici mon plan détailé :

1) Je résoud l'équation homogène : j'ai trouvé où

2) Ensuite je recherche une solution particulière : là je cinde en deux parties à savoir la recherche d'une solution pour ... = cos t et l'autre partie ... = t

Pour , j'ai trouvé

Pour , c'est là où viens ma question : je me demande si je peux résoudre ceci comme une équation homogène pcq . Ainsi j'aurais la forme général des solutions de l'équations homogène : et pour avoir UNE solution particulière, je déterminerai en les remplacant dans l'équation .

Je me demande si cette méthode est correcte...

ensuite pour finir l'exercice j'appliquerai le principe de superposition et y ajouterai les solutions de l'équation homogène de départ pour avoir ainsi toute les solutions de l'équation différentielle

Merci pour votre aide

[kinounou]

Bonjour,

Si j'ai bien compris l'équation est du second ordre : u''(t)-5u(t)=cos(t)+t, auquel cas la résolution de l'équation homogène est fausse. L'équation caractéristique associée à l'équation homogène étant : x^2-5=0.

Je ne comprends pas ta réponse à l'équation que tu appelle homogène: u''(t)-5u(t)-t=0. A moins que tu ne fasse le changement de fonction: y(t)=u(t)+t/5 et auquel cas l'équation devient: y''(t)-5y(t)=0. est-ce cela que tu fais? Mais alors je ne vois toujours pas d'où sort le résultat que tu donnes.

[Pythales]

Si c'est on trouve par identification

[nico2b]

Merci pour votre aide...

L'équation est bien du second ordre et est u'' - 5u' = cos t + t

En fait on nous a expliqué que pour trouver la solution d'une telle équation, on résoud l'équation homogène et ensuite on recherche une solition particulière et le resultat final est solution de l'equation homogène + solution particulière

Je résoud donc l'équation homogène u'' - 5u' = 0. J'écrit le polynome caractéristique . On a deux racines : 0 et 5 de multiplicité 1 chacune donc les solutions de L'équation homogène sont

Ensuite je fait la recherche d'une solution particulière de l'équation u'' - 5u' = cos t + t et c'est là que je divise en deux :
*je recherche une solution part. pour u'' - 5u' = cos t (1)
*je recherche une solution part. pour u'' - 5u' = t (2)
ainsi en additionnant les deux, j'aurais une solution particulière pour l'équation u'' - 5u' = cos t + t

Et ma question venait pour le (2). Je me demandais si je pouvais trouvé la solution particulière en faisant passé le t de l'autre coté et obtenir ainsi u'' - 5u' - t = 0 et résoudre ceci comme une équation homogène...

J'obtient ainsi d'où ma solution avec à déterminer pour avoir UNE solution particulière

Si vous voulez que j'explique comment j'ai trouvé ma solution particulière pour (1), dites le moi.

Voilà j'espère avoir été assez clair