Equation differentielle

[ninonbnq]

bonjour, je dois résoudre ce problème:
y'y=0
et comme condition initiale j'ai y(0)=racine de 2
Merci

[Ben314]

Salut,
Heuuuuu.... tu est sûr de ton équation ?
(c'est à quel niveau scolaire qu'on voit qu'un produit de réels est nul si et seulement si un des facteurs est nul ?)

[tournesol]

Ce n'est pas si simple que ça car l'équation n'est pas équivalente à y=0 ou y '=0 , mais à
c'est à dire à et là encore il n'est pas immédiat de conclure...

[Ben314]

Certes, un produit de fonctions qui est nul, ça ne prouve pas qu'une des deux est nulle (et ce n'est d'ailleurs pas ça que j'ai écrit), mais en considérant qu'en tout point x, tu as soit f(x)=0, soit f'(x)=0, tu conclue aisément vu que, si f est non nulle en un point, alors, par continuité elle est non nulle sur tout un intervalle autour du point.
Bref, je persiste (et je signe...) : tu t'en sort très bien en utilisant le fait qu'un produit de réels est nul ssi un des facteurs est nul.

[tournesol]

Je ne trouves pas cet exo immédiat. Je te propose une solution.
Tu me diras ce que tu en penses(trop compliquée ou pas)
Soit f une solution définie sur un intervalle non vide J .
Si f est nulle sur J , alors elle est constante sur J.
Si il existe b dans J tel que f(b) non nul , alors f est non nulle sur J.
Supposons qu'il existe dans J , supérieur à b tel que
Soit K l'ensemble des x supérieurs à b tels que
K non vide est minoré par b , donc possède une borne inférieure m supérieure ou égale à b.
Par continuité de f , et donc m>b
Mais alors il existe c dans tel que
Comme f(b) est non nul , f '(c) est non nul et donc f(c)=0 ce qui est absurde puisque b<c<m
CQFD pour f non nulle sur J
La démonstration est analogue si
Donc par hypothèse , f ' est nulle sur J et donc f est constante sur J .
Réciproquement toute fonction constante est solution sur J
Il résulte de cette étude que les solutions maximales sont les fonctions constantes définies sur

[Ben314]

Ça a l'air de marcher, mais ça me semble bien compliqué . . .
Si f n'est pas identiquement nulle, on prend xo tel que f(xo) soit non nul.
Comme f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant xo (continuité), c'est que f' est nulle sur cet intervalle et donc que f est constante sur cet intervalle.
Et si on prend l'ensemble des b tels que f est constante sur [xo,b], il ne peut avoir de borne supérieure (finie) vu que, par continuité, f serait égale à f(xo) en cette borne donc non nulle et donc de nouveau constante au voisinage de la borne ce qui contredirait la maximalité de la borne.
Idem de l'autre coté évidement donc f est constante sur R.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien la difficulté. est constant puisque sa dérivée est nulle, et la condition initiale impose que est la constante .

[tournesol]

@GaBuZoMeu
si y prend les valeurs A et B avec A < B, alors car est constante.
Donc B= - A . Mais y devrait prendre toutes les valeurs de l'intervalle [A;B].
Donc y est constante.
@Ben314
Bien vu

[tournesol]

Autre démo:
yy '=0 donc donc est contante et donc , sans TVI, y est constante.

[ninonbnq]

bonjour, je dois résoudre ce problème:
y'y=1
et comme condition initiale j'ai y(0)=racine de 2
Merci

[Pisigma]

Bonjour,

avec toutes les infos qu'on t'a données, tu devrais pouvoir répondre, non?