Equation différentielle.

[Mirtonim]

Bonjour, je dois résoudre l'équation différentielle (x^2 + 1)y' + 2xy =3x^2 + 1.
J'ai résolus l'équation homogène et je suis maintenant à la recherche d'une solution particulière. La correction me dit "on remarque que y0(x)= x convient". J'aimerais bien savoir comme je suis sensé le remarquer.
Merci d'avance !

[mathelot]

Bonsoir,
il y a une méthode, appelée variation de la constante, qui permet de trouver une solution particulière de l'équation.

La résolution de l'équation homogène donne
où K est une constante d'intégration réelle.

Pour trouver une solution particulière, on pose
(*)
on calcule

En remplaçant y et y' dans l'équation, il vient:

d'où
où C est une constante d'intégration
avec (*) on obtient:



soit


conclusion: la méthode de variation de la constante a permis de trouver une solution particulière de l'équation.

[Mirtonim]

Bonsoir,
il y a une méthode, appelée variation de la constante, qui permet de trouver une solution particulière de l'équation.

La résolution de l'équation homogène donne
où K est une constante d'intégration réelle.

Pour trouver une solution particulière, on pose
(*)
on calcule

En remplaçant y et y' dans l'équation, il vient:

d'où
où C est une constante d'intégration
avec (*) on obtient:



soit


conclusion: la méthode de variation de la constante a permis de trouver une solution particulière de l'équation.

Merci, mais il peut y avoir plusieurs solutions particulière ?

[mathelot]

oui, une infinité mais on s'en fiche, il faut en trouver au moins une.

Les solutions de l'équation sont de la forme:



L'ensemble des solutions est une droite affine.
Un point de cette droite est la fonction x.
Le vecteur directeur de cette droite est la fonction

Comme toute droite affine, on peut choisir un autre point, par exemple:

qui fournit une autre solution particulière.

en fait, c'est tout bête, toute solution de l'équation peut être une solution particulière.

[Mirtonim]

oui, une infinité mais on s'en fiche, il faut en trouver au moins une.

Les solutions de l'équation sont de la forme:



L'ensemble des solutions est une droite affine.
Un point de cette droite est la fonction x.
Le vecteur directeur de cette droite est la fonction

Comme toute droite affine, on peut choisir un autre point, par exemple:

qui fournit une autre solution particulière.

en fait, c'est tout bête, toute solution de l'équation peut être une solution particulière.

Aaahh d'accord ! Merci beaucoup !

[GaBuZoMeu]

La méthode de variation de la constante est assez lourde.

On pouvait ici chercher une solution polynomiale, puisque les coefficients et le second membre sont des polynômes en .
Si était le terme de plus haut degré d'une telle solution, le terme de plus haut degré du membre de gauche de l'équation serait .
Je laisse continuer ...

[Mirtonim]

La méthode de variation de la constante est assez lourde.

On pouvait ici chercher une solution polynomiale, puisque les coefficients et le second membre sont des polynômes en .
Si était le terme de plus haut degré d'une telle solution, le terme de plus haut degré du membre de gauche de l'équation serait .
Je laisse continuer ...

Je te remercie, je pense réussir même sens la méthode de variation de la constante. Je savais juste pas qu'il pouvait y avoir une infinité de solutions particulière et comme la correction disais seulement "on remarque que x convient" je ne comprenais pas trop

[GaBuZoMeu]

Tu sais sans doute qu'une droite du plan est donnée par la droite vectorielle des vecteurs parallèles à cette droite et un point particulier de la droite. N'importe quel point de la droite peut servir de "point particulier".

Ici, c'est exactement la même histoire. Les solutions de l'équation homogène forment une droite vectorielle, et la droite affine des solutions de l'équation complète est donnée par cette droite vectorielle et une solution particulière de l'équation complète. Autrement dit, la solution générale de l'équation complète est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation complète.
N'importe quelle solution de l'équation complète peut servir de "solution particulière", de même que n'importe quel point de la droite peut servir de point particulier.

Quand on recherche une solution particulière de l'équation complète, on peut imposer une condition ad hoc sur sa forme (comme, ici, d'être un polynôme) pour pouvoir calculer. De même, pour trouver un point sur une droite on peut en calculer l'intersection avec l'axe des ordonnées, par exemple.