équation différentielle

[Saadcod]

bonsoir à tous
j'aimerai bien partager avec vous cette équation différentielle
soit (E) : y'' + y' + y =
la question si de trouver que la solution s'écrit comme la somme de
et merci d'avance

[mathelot]

bsr,
solution particulière évidente de l'équation avec second membre.

solutions particulières de l'équation homogène sans second membre:
et
où j et sont les solutions complexes de l'équation


forme générale des solutions de l'équation avec second membre:

où et sont deux constantes réelles arbitraires.
...
ce qui va permettre de corroborer la solution développable en série entière.

[LB2]

Bonsoir,

en quelle classe es-tu?
La résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants est au programme de MPSI/PCSI/PTSI (Bac +1)

Dans l'exo, on cherche à montrer que "la" solution (reste à se poser la question de l'unicité, ce qui n'est a priori pas le cas) est la somme d'une série entière.

Ensuite, les séries entières sont au programme de deuxième année.

Tu peux directement chercher une solution développable en série entière (DSE) autour de 0 et regarder quelle relation de récurrence tu obtiens sur les coefficients du développement (a_n).
Mais il faut bien tout justifier, en particulier la convergence de la série entière que tu obtiens.

[Saadcod]

exactement il faut étuliser les séries entiers mais le problème reste sur comment on obtient la relation de récurrence car on a

[pascal16]

il me semble que quand tu identifies tes termes, tu as en notant an=a(n)et ta somme "somme (a(n)/n!) x^n"

a(n+2) + a(n+1) + a(n) = 1

si tu pars de "somme (a(n). x^n)" tu as une factorielle et des coefficients en plus.

Tu as quoi pour y, y' et y'' ?

[aviateur]

bonsoir à tous
j'aimerai bien partager avec vous cette équation différentielle
soit (E) : y'' + y' + y =
la question si de trouver que la solution s'écrit comme la somme de
et merci d'avance

Bonjour
Est-il possible de formuler correctement la question? Elle pose problème, il y a le style mais mathématiquement dire "la solution" c'est un peu gros. Alors cela laisse un doute sur comment interpréter la question?
Par ailleurs, pourquoi se fatiguer à écrire des équations alors qu'on donne:
On calcule pour tout x
y''+y'+y et on trouve directement \sum_{n\geq 0} x^n/n! exp(x).

[Saadcod]

[aviateur]

Rebonjour
C'est bien ce que je me disais ça change la façon de répondre.
Pour démarrer
On pose formellement
Comme on veut S(0)=1 et S'(0)=0 alors nécessairement on aura et .
Alors
et
Ajouter S''(x)+S'(x)+S(x) et identifier avec .
Tu vas trouver ta relation de récurrence et la résolution facile.
Le reste ce n'est que de la justification

[Saadcod]

bon je le vois maintenant merci beaucoup donc l'astuce de mettre exponentielle comme une série

[LB2]

Bonjour,

la prochaine fois quand tu poses un énoncé, poste directement l'énoncé, pas ta "traduction" car
- ta formulation est incomplète et on ne connait pas les questions précédentes et suivantes
- tu dis ou sous-entend des choses fausses du style "LA solution de l'équation différentielle truc..."

[mathelot]

bonjour,
on veut calculer

question 2.a
On a montré que la solution générale de l'équation y"+y'+y=e^x
est

où et sont deux constantes.

question 2.b
Montrons que
est solution de l'équation:

S est dérivable sur et

S est deux fois dérivable:

d'où

Calcul de S
Le système

est un problème de Cauchy.
Il admet une solution maximale unique définie ici sur tout entier.

L'unicité permet de calculer les constantes et pour la série S:
S(0)=1 est équivalente à

[Saadcod]

ce que tu as fait est correct mais pour simplifier les choses il faut travailler avec les séries entiers on va trouver directement la résultat sans faire la solution générale de l'équation .
merci beaucoup pour votre attention
cordialement

[Ben314]

Salut,

ce que tu as fait est correct mais pour simplifier les choses il faut travailler avec les séries entiers on va trouver directement la résultat sans faire la solution générale de l'équation.

Ca m'interesserait plus que beaucoup de voir comment tu va procéder pour trouver l'expression de ta série entière sans commencer par faire la question 2.a., c'est à dire sans chercher la solution générale de l'équation différentielle. Tu peut m'expliquer quelle méthode tu compte employer ?

[mathelot]

excusez moi j'ai dû m'absenter..
@saadcod:
je te laisse la fin en exercice:

1) Soit f la forme générale de l'équation:

calculer f'.
2) calculer et de manière que
f(0)=1 et f'(0)=0. Soit cette fonction
3) identifier S(x) et , grâce à l'unicité de la solution du problème de Cauchy.. On obtient une belle formule,assez surprenante, qui est le calcul de S.
4) vérifier le résultat trouvé sous le logiciel Wolfram alpha.