Equation differentielle

[maths699]

Bonjour, je dois donner toutes les solutions des équations puis la solution qui satisfait la condition initiale:
1) y'-3y=(1-3x)*exp(2x) , y(0)=-2


2)y'-3y= 2exp(3x) , y(0)=-2



3)y'+2y=2*x*exp(-2x) y(1)=0





Pour la 1) j'ai commencé a résoudre y'-3y=0 pour trouvé des solutions générale puis après je ne sais pas comment faire, merci de votre aide

[Sourire_banane]

Bonjour, je dois donner toutes les solutions des équations puis la solution qui satisfait la condition initiale:
1) y'-3y=(1-3x)*exp(2x) , y(0)=-2


2)y'-3y= 2exp(3x) , y(0)=-2



3)y'+2y=2*x*exp(-2x) y(1)=0





Pour la 1) j'ai commencé a résoudre y'-3y=0 pour trouvé des solutions générale puis après je ne sais pas comment faire, merci de votre aide

Salut,

Après avoir trouvé les solutions générales, trouve une solution particulière. La structure des solutions d'une EDO étant un espace affine, l'ensemble des solutions générales forme un K-espace vectoriel et le faire translater d'un vecteur (ici la solution particulière non nulle) donne un espace affine. Et cet espace porte bien son nom, car on remarque aisément que si le second membre n'est pas nul, le vecteur nul n'est pas solution de cette EDO.

[maths699]

euh.... je n'ai pas du tout compris...

[Sourire_banane]

euh.... je n'ai pas du tout compris...

Bon, trouve juste une solution particulière.

[maths699]

il faut cherche une solution de la forme y(x)= (ax+b)exp(x) ???

[Sourire_banane]

il faut cherche une solution de la forme y(x)= (ax+b)exp(x) ???

Oui par exemple !

PS : Je t'explique en quoi c'est pertinent.
Lorsque le second membre est de la forme y(x)=P(x)*exp(kx), P de degré n, le premier membre est souvent de la forme f(y,y',...,y^(n)), donc on peut se dire a priori qu'on retrouvera qqchose de la forme exp(kx) (car dériver un produit de qqchose avec une exponentielle redonne à coup sûr cette exponentielle) fois un polynôme de degré n si le coeff dominant ne s'est pas annulé entre temps, et ce grâce à la 0-ème dérivée y^(0)(x)=y(x)

[maths699]

pour la 1,
y(x)= (ax+b)exp(x) donc y'(x)=aexp(x)+exp(x)(ax+b)
donc y'(x)-3y(x)=aexp(x)+exp(x)(ax+b)-3(ax+b)exp(x)


je bloque ici

[Sourire_banane]

pour la 1,
y(x)= (ax+b)exp(x) donc y'(x)=aexp(x)+exp(x)(ax+b)
donc y'(x)-3y(x)=aexp(x)+exp(x)(ax+b)-3(ax+b)exp(x)


je bloque ici

Faux. N'oublie pas que dans l'exponentielle on a du 2x et non pas du x...

[maths699]

donc on cherche une solution de la forme y(x)= (ax+b)exp(2x) ???

[maths699]

y'(x)-3y(x)=aexp(2x)+2exp(2x)(ax+b) -3(ax+b)exp(2x)

[Sourire_banane]

y'(x)-3y(x)=aexp(2x)+2exp(2x)(ax+b) -3(ax+b)exp(2x)

Continue...

[maths699]

y'(x)= (-ax+b+a)exp(2x) ?

[Sourire_banane]

y'(x)= (-ax+b+a)exp(2x) ?

Non.
Je t'ai dit de continuer avec ce que tu avais fait. C'était bien, pourquoi est-ce que tu reviens avec y' ?

[maths699]

euh oui desolé ,y'(x)-3y(x)=(-ax+b+a)exp(2x)

est-ce que c'est bien -ax ou ax ?

[Sourire_banane]

euh oui desolé ,y'(x)-3y(x)=(-ax+b+a)exp(2x)

est-ce que c'est bien -ax ou ax ?

Moi je trouve plutôt -(ax+b-a)exp(2x)=y'(x)-3y(x) !

[maths699]

la derniere ligne que j'obtiens c'est ça:
(2ax+2b+a)exp(2x) + exp(2x)(-3ax-3b) et en factorisant ça on a (-ax+b+a)exp(2x)
non?

[maths699]

(-ax-b+a)exp(2x) voila j'ai corrigé et j'obtiens ça

[maths699]

pour trouvé a et b il faut je fasse (-ax-b+a)exp(2x) =(1-3x)exp(2x) donc
(-ax-b+a)=(1-3x)?



et commment on fait une fois ici?

[Sourire_banane]

pour trouvé a et b il faut je fasse (-ax-b+a)exp(2x) =(1-3x)exp(2x) donc
(-ax-b+a)=(1-3x)?



et commment on fait une fois ici?

Comment tu fais lorsque tu es confronté à un pb du genre "trouver a, b et c tel que (x+2)(ax²+bx+c)=ex^3+fx^2+gx+h avec e,f,g,h connus" ?

[maths699]

par identification des coefficients ?