Equation différentielle

[Jaie]

Bonjour,
Comment résoudre cette equation:

(d^2Y/dt^2)+2(dY/dt)+2y=0 t appartient à l'intervalle 0;+infini et y en cm, t en secondes

Je ne sais pas par où commencer???
Merci pour votre aide

[Dinozzo13]

Salut !



Résous ce que l'on appelle l'équation caractéristique : .
Les solutions de ton équation sont sous la forme où sont les solution de .

[Jaie]

Merci pour le chemin directeur, mais franchement cela ne m'aide pas vraiment car les équa diff il y a trés longtemps que je n'ai pas pratiqué.
Serait-il possible d'avoir plus de précision dans le développement?
En te remerciant par avance

[Dinozzo13]

Que veux-tu savoir plus précisément ? quelle étape en particulier ?

[Jaie]

Sans être trop gourmand un peu toutes.
Parce qu'en fait je me remets à niveau en maths, niveau Term et j'attaque une formation qui va jusqu'à bac +, et les équa diff j'en ai eu qu'un bref aperçu, les cours de la formation sont expéditifs et l'exercice demandé à un niveau au dessus, bref je tourne en rond depuis des heures.... :cry:

Merci de ton aide

[Black Jack]

Equation du type: y'' + a.y' + b = 0 (avec y = f(t))

On cherche les solutions de r² + ay + b = 0

r = [-a +/- V(a²-4b)]/2 (avec V pour racine carrée)

1°) Si a²-4b > 0, alors il y a 2 solutions réelles qui sont : r1 = [-a - V(a²-4b)]/2 et r2 = [-a + V(a²-4b)]/2

Les solutions de l'équation différentielle sont alors : y = A.e^(r1.t) + B.e^(r2.t)
A et B étant des constantes réelles dont les valeurs peuvent être déterminées par des conditions initiales (si on les connait)
*****

2°) Si a²-4b = 0, alors il y a 1 solution double réelle qui est r1 = -a/2

Les solutions de l'équation différentielle sont alors : y = A.e^(r1.t) + B.t.e^(r1.t)
A et B étant des constantes réelles dont les valeurs peuvent être déterminées par des conditions initiales (si on les connait)
*****

1°) Si a²-4b < 0, alors il y a 2 solutions complexes qui sont : r1 = -a/2 - i.(1/2).V(4b-a²) et r2 = -a/2 + i.(1/2).V(4b-a²)

En posant -a/2 = alpha et (1/2).V(4b-a²) = w

Les solutions de l'équation différentielle sont alors : y = e^(alpha.t) * (A.sin(wt) + B.cos(wt))
A et B étant des constantes réelles dont les valeurs peuvent être déterminées par des conditions initiales (si on les connait)

On peut écrire ces solutions un peu différemment (mais c'est équivalent), par exemple :
y = e^(alpha.t) * (C.sin(wt + Phi)
C et Phi étant des constantes réelles dont les valeurs peuvent être déterminées par des conditions initiales (si on les connait)
*****

:zen:

[Jaie]

Bonjour,
Merci pour ce précieux cours.
Donc pour mon exemple, j'ai calculé:
Avec r^2+2r+2=0
1/a^2-4b=-4 donc négatif et par conséquent 2 solutions complexes

2/r1=-1-i(1/2)*racine de 4 et r2 =-1+i(1/2)*racine de 4

3/y= e^(-t) * (A.sin(1/2*racine de4t) + B.cos(1/2*racine de4t))

Cela te parait-il correct comme résolution?
Merci de te pencher sur mon cas...

[Black Jack]

Bonjour,
Merci pour ce précieux cours.
Donc pour mon exemple, j'ai calculé:
Avec r^2+2r+2=0
1/a^2-4b=-4 donc négatif et par conséquent 2 solutions complexes

2/r1=-1-i(1/2)*racine de 4 et r2 =-1+i(1/2)*racine de 4

3/y= e^(-t) * (A.sin(1/2*racine de4t) + B.cos(1/2*racine de4t))

Cela te parait-il correct comme résolution?
Merci de te pencher sur mon cas...

Oui, mais (1/2)*racine(4) = 1

r^2+2r+2=0

r = -1 +/- V-1
r = -1 +/- i

--> y(t) = e^-t.(A.sin(t) + B.cos(t))

:zen:

[Jaie]

Super, t'es au top !!!
Et pour conclure, on demande de montrer que cette solution s'annule pour t=0 et que sa dérivée vaut 4 pour cette valeur?

Il suffit de remplacer t par 0
Donc y(0) = e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) est égale à 0
Mais pour la dérivée vaut 4 je ne comprends pas?

[Black Jack]

Super, t'es au top !!!
Et pour conclure, on demande de montrer que cette solution s'annule pour t=0 et que sa dérivée vaut 4 pour cette valeur?

Il suffit de remplacer t par 0
Donc y(0) = e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) est égale à 0
Mais pour la dérivée vaut 4 je ne comprends pas?

Il faut trouver les valeurs à donner à A et à B pour que y(0) = 0 et pour que y'(0) = 4

y(0) = e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) = 0 ---> B = 0
et donc y(t) = e^-t.(A.sin(t))

y'(t) = -e^-t.(A.sin(t)) + A.cos(t).e^-t
y'(0) = A = 4

Et donc la solution attendue est y(t) = 4.e^-t * sin(t)

:zen:

[Jaie]

Merci pour la réponse, mais B=0 tu l'as choisi de façon arbitraire?
Et si on remplace t par 0 dans la dérivée comment arrives tu pour trouver que A=4
Pour moi cela fait 0 non?

[Black Jack]

Merci pour la réponse, mais B=0 tu l'as choisi de façon arbitraire?
Et si on remplace t par 0 dans la dérivée comment arrives tu pour trouver que A=4
Pour moi cela fait 0 non?

Certes non, cela est imposé par la condition initiale de l'énoncé : y(0) = 0
y(0) = e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) = 0
e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) = 0
1 * (A * 0 + B*1) = 0
---> B = 0
************
Et pour A :

On sait déjà que B = 0 et donc y(t) = e^-t.(A.sin(t))

y'(t) = -e^-t.(A.sin(t)) + A.cos(t).e^-t
y'(0) = 4 (C'est la dérivée en 0 qui est imposée égale à 4)

-e^0.(A.sin(0)) + A.cos(0).e^0 = 4
-1 * A * 0 + A * 1 * 1= 4
A = 4

:zen:

[Jaie]

Certes non, cela est imposé par la condition initiale de l'énoncé : y(0) = 0
y(0) = e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) = 0
e^-0.(A.sin(0) + B.cos(0)) = 0
1 * (A * 0 + B*1) = 0
---> B = 0
************
Et pour A :

On sait déjà que B = 0 et donc y(t) = e^-t.(A.sin(t))

y'(t) = -e^-t.(A.sin(t)) + A.cos(t).e^-t
y'(0) = 4 (C'est la dérivée en 0 qui est imposée égale à 4)

-e^0.(A.sin(0)) + A.cos(0).e^0 = 4
-1 * A * 0 + A * 1 * 1= 4
A = 4

:zen:

Ben bien sûr :id:
Merci beaucoup pour tes explications très constructives.
Bonne fin de journée à toi