Equation différentielle du second ordre

[lefouineur]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué par cette équation différentielle extraite de "Maths MPSI" de Monier

y''+4y=x*(cos(x))²

la solution générale est y(x)= K1*cos(2x)+K2*sin(2x)

la solution particulière est y(x)=x/8+(x*cos2x)/32+(x²*sin2x)/16

je vais vous montrer ce que j'ai fait:

premier terme y=ax+b y'=a y''=0 il vient 1*0+4*(ax+b)=1/2*x 4ax+4b=1/2*x

4*a=1/2 d'oû a=1/8 Ypa=1/8*x


ypa=x*((1+cos2x)/2

Ypa=x*[(ax+b)*cos2x+(cx+d)*sin2x] Y'pa=(2*cx²+(2a+2d)*x+b)*cos2x+(-2ax²+(2c-2b)*x+d)*sin2x

Y''pa=(-4*ax²+(8c-4b)*x+2a+4d)*cos2x+(-4cx²+(-8a-4d)*x-4b+2c)*sin2x


d'oû: Y''pa+4Ypa=(-4ax²+ax²)*cos2x+(-4cx²+cx²)*sin2x pour les termes en x²

=(-3ax²*cos2x)+(-3cx²*sin2x) on voit ici que les deux termes à identifier ne donneront pas
1/16 et 1/32 comme demandé....

Pouvez-vous m'aider? D'avance merci
Cordialement lefouineur

[phyelec]

Bonjour,

Vous utilisez quelle méthode pour trouver la solution particulière? variation de la constante?

[phyelec]

je non comprend pas pourquoi il n'y a pas de cos dans votre rechercher de solution particulière.



donc


votre second membre devient :

[lefouineur]

Bonjour phyelec et merci pour ta réponse rapide

La méthode utilisée est celle de l'identification polynomiale

Le second membre est: x*(cos(x))² ce qui donne: x*(1+cos2x)/2 une fois la linéarisation effectuée...

Cordialement le fouineur

[Black Jack]

Bonjour,

y''+ 4y=x*(cos(x))²

y''+ 4y=x*(1 + cos(2x))/2

On cherche une solution particulière de y''+4y=x/2 --> y = x/8 convient (1)

On cherche un solution particulière de y''+4y = (x*cos(2x))/2

Elle sera de la forme y = (ax²+bx+c).cos(2x) + (dx²+fx+g).sin(2x)

y' = ...
y'' = ...

puis on fait y''+ 4y' = ... et après simplification on arrive à :

y'' + 4y' = cos(2x)*(2a+8dx+4f) + sin(2x)*(-8ax-4b-4f+2d+4g)

On identifie avec y'' + 4y' = (x*cos(2x))/2

et on a le système :

2a+4f=0
8d=1/2
-8a=0
-4b-4f+2d+4g = 0

Qui ne contient pas c --> on prend c quelconque (et on prendra 0 par facilité)

On a alors a = 0; f = 0; c = 0
d = 1/16
-b+g+1/32 = 0

On choisit b et g n'importe comment pourvu que -b+g+1/32 = 0
Par exemple : g = 0 et b = 1/32

On a alors pour solution particulière de y'' + 4y' = (x*cos(2x))/2 --> y = (x/32).cos(2x) + (x²/16).sin(2x) (2)

Et avec (1) et (2), une solution particulière de y''+ 4y=x*(cos(x))² est :

y = x/8 + (x/32).cos(2x) + (x²/16).sin(2x)

Toutes erreurs incluses.

[lefouineur]

Bonsoir Black Jack et merci beaucoup pour ta réponse rapide et détaillée.

Je vais l'étudier demain matin mais tout me semble correct.

Cordialement lefouineur