Equation différentielle du second ordre

[JoByr]

Bonjour,
Je suis en prépa PC, donc en pleines révisions pour mes concours, et j'ai un souci de méthode pour la résolution des équations différentielles du second ordre à coefficients non constants, donc de la forme :
y'' + a(x)y' + b(x)y = c(x)
Toutes les solutions que j'ai trouvées se basaient sur la méthode de variation de la constante mais soit :
- en prenant a(x) et b(x) constantes, ce qui est uniquement un sous cas de ce que je cherche
soit :
- en partant du principe que l'on avait une ou deux solution(s) de l'équation homogène, or les coefficients n'étant pas constants, on ne peut pas en trouver "facilement" si ?
Bonne journée et merci d'avance.

[Mimosa]

Bonjour

Si tu as deux solutions linéairement indépendantes de l'équation sans second membre, tu peux utiliser la méthode très mal appelée "des variations des constantes".
Tu cherches une solution de l'équation complète sous la forme

[GaBuZoMeu]

Tu peux voir dans cette page wikipedia. Si on ne connaît pas par un moyen ou par un autre une solution de l'équation homogène, on est mal.

[JoByr]

Merci pour vos réponses, mais je connaissais déjà la méthode et la page Wikipédia.
Cependant Mimosa, cette méthode de résolution est celle que je connais mais ce qui me pose problème dans un tel cas est de trouver les deux solutions linéairement indépendantes, y a-t-il une méthode spécifique ?
Merci GaBuZoMeu pour ta réponse, en relisant l'article et avec tes réponses je comprend qu'il n'y a pas de méthode "simple".

[Mimosa]

En effet, si on n'a pas de solutions de l'équation homogène, on est mal.
Alors, juste à titre d'information, sous de bonnes hypothèses de régularité, on arrive à trouver des solutions sous forme de sommes de séries entières. C'est un peu calculatoire, mais des fois ça marche!

[JoByr]

D'accord merci, juste pour être sûr que j'ai bien compris :
Dans le cas où on cherche une solution de l'équation homogène sous la forme de série entière, on remplace y, y' et y'' par ∑(a_n x^n) et dérivées associées ?
Merci pour vos réponses

[GaBuZoMeu]

Oui. Et tu peux fixer les conditions initiales et . Ça te fait quand tout va bien une suite récurrente, mais où les coefficients de la relation de récurrence (venant des développements en série des coefficients de l'équa diff) dépendent de .