Equation différentielle second ordre

[gambas]

Bonjour,
je suis bloqué sur une équation :

énoncé :
montrer que y est solution de l'ED : y"(t)-y'(t)=t

j'avoue que là je suis perdu, quelqu'un peut il m'aider?

merci par avance

[mathelot]

br,
quelle est l'écriture de y ? de manière à calculer y' et y"

[gambas]

[mathelot]

l'équation polynomiale associée est
r^2-3r+2=(r-1)(r-2)
les solutions de l'équation homogène sans second membre forment un R espace vectoriel
de dimension 2 et de base et

on cherche une solution particulière de l'équation avec second membre sous la forme
x(t)=z(t)e^{t}

On remplace donc x dans l'equation par z(t)e ^t

[mathelot]

il faut bien distinguer x de z.
x est la ssolution générale de l'équation.

elle est de la forme

on cherche sous la forme où z va être un polynome en t de degré 2

[gambas]

ok. merci pour tes réponses.
2.a : j'ai compris

2.b : le polynome solution de (2) est son équation homogène :
soit : r^2-r=0
je trouve comme solution homogène zh=K1 e(t) + K2 e(-t)
en solution particulière zp je trouve 0.
donc z(t) = K1 e(t) + K2 e(-t)

2.c : xp=z(t) e(t) = ( K1 e(t) + K2 e(-t) ) e(t) = K1 e(t) + K2

3 : solution générale :

x(t) = ( C1 e(2t) + C2 e(t) ) + (K1 e(t) + K2) où C1, C2, K1, K2 sont des constantes dans R.

est ce que j'ai bien compris?

[Pseuda]

Bonjour,

2b) Ce n'est pas ça. On cherche un polynôme du 2nd degré qui vérifie : z''(t)-z'(t) = t.
On pose z(t) = at²+bt+c, et on cherche a,b,c qui vérifient cette équation.

Par ailleurs, question1 : l'ensemble des solutions de l'équation homogène est comme l'a indiqué Mathelot.

[gambas]

ok, merci pour ta réponse.

j 'espère avoir compris cette fois ci


z = at^2 + bt + c
z' = 2at + b
z" = 2a

on a donc : 2a - 2at-b = t

par identification je trouve :
a = - 1/2
b = -1
c = 0

z(t) = (-t^2/2) - t

donc xp = ((-t^2/2) - t) e(t)

x(t) = K1 e(t) + K2e(2t) + ((-t^2/2) - t) e(t)


est ce que cela est cohérent ?

[Pseuda]

Bonsoir,

C'est bon.

[gambas]

merci pour ton aide