Equation différentielle second ordre coefficients variables

[psyla]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un saurait résoudre l'équation différentielle suivante :

y"+(2/r)y'+by=c avec b, c des constantes.

Merci pour votre aide

[mathelot]

bjr,
est une solution particulière de cette équation linéaire
on peut se restreindre à


r est elle la variable ?

[psyla]

Oui r est la variable d'ou ma difficulté à résoudre l'équation différentielle ne serait-ce que pour l'équation homogène...

[Calvinator2000]

Bonjour,

On se propose de résoudre l'équation homogène sur .

L'équation est alors équivalente à
Etant donné la forme de l'équation (facteurs en r qui font penser à une solution polynômiale), il me paraît naturel de songer à une solution développable en série entière sur l'intervalle prédéfini.

Je te lance : solution de avec une suite à terme réels.

Il te reste à trouver les conditions nécessaires sur pour que y soit solution de .

[psyla]

Merci pour votre aide mais en fait j'ai trouvé un autre méthode pour résoudre (méthode de la variation de la constante) qui a marché. Mais je garde dans un coin de ma tête votre solution si jamais j'ai l'occasion de devoir résoudre un autre équation différentielle de ce genre.

[psyla]

D'ailleurs, dans le cas ou quelqu'un serait intéressé de savoir, avec la méthode de la variation de la constante, on trouve comme solutions de l'équation homogène les fonctions de la forme : y = A exp(racine(-b)*r)+B exp(-racine(-b)*r), avec b négatif (attention c'est important de savoir le signe de a sinon la solution change!) et A, B des constantes à déterminer avec les conditions initiales.

[Ben314]

D'ailleurs, dans le cas ou quelqu'un serait intéressé de savoir, avec la méthode de la variation de la constante, on trouve comme solutions de l'équation homogène les fonctions de la forme : y = A exp(racine(-b)*r)+B exp(-racine(-b)*r), avec b négatif (attention c'est important de savoir le signe de a sinon la solution change!) et A, B des constantes à déterminer avec les conditions initiales.

J'ai "plus que des doutes" concernant le fait qu'un truc aussi simplisime que ça puisse être la solution de ton équa-diff avec r variable :
En posant (i.e ), si alors et donc

[psyla]

pardon j'ai oublié un morceau de la solution --' La véritable solution est :
y= exp(-lnr) (A exp(racine(b) r) + B exp(racine(b) r))

Cette solution marche j'ai vérifié en la remplaçant dans l'équation différentielle.

[Ben314]

pardon j'ai oublié un morceau de la solution --' La véritable solution est :
y= exp(-lnr) (A exp(racine(b) r) + B exp(racine(b) r))

Cette solution marche j'ai vérifié en la remplaçant dans l'équation différentielle.

Si alors et donc


Essaye encore... :zen:

[Calvinator2000]

Personnellement, je trouve que

est solution de l'équation homogène.

[psyla]

Si alors et donc


Essaye encore... :zen:

En fait je ne comprends pas pourquoi tu as des r'' et r', r est une variable donc quand tu dérives y', tu dérives juste par rapport à r. Il n'y a donc pas de r'' et de r' !!

Et aussi pourquoi enlèves tu l'exponentielle ?

[psyla]

Personnellement, je trouve que

est solution de l'équation homogène.

Cette solution marche si b est positive or dans mon cas b est négatif. D'ailleurs j'ai encore fait un erreur dans la solution du coup :
y= exp(-lnr) (A exp(racine(-b) r) + B exp(racine(-b) r)) (il manquait les - dans les racines pour b)

A noté d'ailleurs que exp(-ln r) = 1/r (d'ou le 1/r que tu as dans ta solution).

En fait avec b positif, toutes les fonctions de la forme exp(-lnr) (ou 1/r) * (A sin (racine{b} r) + B cos(racine{b} r)) sont solution de l'équation homogène. Ce qui revient à ta solution si on prend A=1 et B=0.

[Ben314]

En fait je ne comprends pas pourquoi tu as des r'' et r', r est une variable donc quand tu dérives y', tu dérives juste par rapport à r. Il n'y a donc pas de r'' et de r' !!

Et aussi pourquoi enlèves tu l'exponentielle ?

J'avais effectivement lu de travers et j'avais compris que r était variable mais pas que c'était LA variable par rapport on dérive.
Et sinon, je n'enlève nulle part l'exponentielle : je je la met juste systématiquement en facteur.

[psyla]

C'est peut être moi qui est mal expliqué --'

Ah oui d'accord, j'avais pas compris que tu mettais l'exponentielle en facteur...